高数曲线积分格林公式应用 补线法，求解！

1、补充线段y＝0，构成封闭曲线

利用格林公式化为二重积分

结果＝封闭曲线围成的半圆的面积

y＝0代入

dy＝0

siny＝0

整个曲线积分＝0

2、添加y轴上从2到0的这一段，记为L1，

设三条线围成的区域为D，

用格林公式做。

设P=3xxy，Q=(xx+x-2y)，

则P'y=Q'x=3xx。

原式

=∫〔L〕…+∫〔L1〕…-∫〔L1〕…

=∫∫〔D〕0dxdy-∫〔2到0〕-2ydy

=-4。

扩展资料：

设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分区域都属于D，则D称为平面单连通区域。直观地说，单连通区域是没有空间的区域，否则称为复连通区域。

当xOy平面上的曲线起点与终点重合时，则称曲线为闭曲线。设平面的闭曲线L围成平面区域D，并规定当一个人沿闭曲线L环行时，区域D总是位于此人的左侧，称此人行走方向为曲线L关于区域D的正方向，反之为负方向。

参考资料来源：百度百科-格林公式

这一题不需要挖去奇点。

解：本题运用了格林公式求解。

由图形的对称性可以得知：

S＝4∫(0→a)ydx

＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]

＝12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt

＝12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6] dt

＝12a^2[3/4*1/2*π/2－5/6*3/4*1/2*π/2]

＝(3πa^2)/8

扩展资料：

利用格林公式计算对坐标的曲线积分的方法：

第一步：明确被积表达式中的P(x,y)和Q(x,y)函数(dx前面的函数为P(x,y)，dy前面的函数为Q(x,y)，如果有负号，记得带上负号)。

第二步：计算Q(x,y)关于x的偏导数，P(x,y)关于y的偏导数。如果两者之差比较简单且不等于0，则考虑使用格林公式计算曲线积分。

第三步：判定问题中给出的条件是否满足格林公式的三个条件：封闭性、方向性和偏导数的连续性。如果封闭性和偏导数的连续性不满足，则可以考虑通过添加辅助线的方式将积分曲线封闭起来，或者将偏导数不存在的点隔离开来。

然后使用格林公式在闭区域上计算二重积分。如果添加了辅助线，则最终结果应该用二重积分的结果减去辅助线上的曲线积分。

参考资料来源：百度百科- 格林公式

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