三线合一定理

平面几何中把三角形的高、中线、角平分线叫做三线,三线合一就是说这三条线重合.等边三角形的三线合一,反过来也是正确的,也就是说三线合一的三角形必是等边三角形三线合一定理：是在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合（前提一定是在等腰三角形中，对其它三角形不适用）。

证明等腰三角形ABC(AB=AC) 已知：△ABC为等腰三角形，AB=AC,AD为中线。求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中：{ BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）{ AB=AC（等腰三角形的性质)｛ AD=AD（公共边）∴△ADB≌△ADC（SSS）可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC (全等三角形对应角相等）∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180°（平角定义）∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）∴AD⊥BC同理，若△ABC为等边三角形，结论同样成立。应用1.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC∴AD⊥BD,AD平分∠BAC2.∵AB=AC,AD⊥BC∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC3.∵AB=AC,AD平分∠BAC∴AD⊥BD,BD=DC=1/2BC① 如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。② 如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。③ 如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。①AD⊥BC于D，②AD平分∠BAC，③AD是BC中线（1）若以①②为条件，求证AB=AC。理由如下：∵∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，AD=A∴△ABD≌△ACD(ASA)∴AB=AC（2）若以②③为条件，求证AB=AC。理由如下：∵AD是BC中线，∴S△ABD=S△ACD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，又∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∴AB=AC（等底等高）（3）若①③，求证AB=AC。理由如下：∵BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB=AC