函数表达式格式

函数有三种表示法：解析式法（用数学式子表示两个变量之间的函数关系）,图像法（用坐标系中的图像表示两个变量之间的函数关系）,列表法（用表格表示两个变量之间的函数关系）

表达式就是数学式子,即用解析式法表示的那个数学式子如,y=x+1就是表示变量x与y函数关系的表达式

函数（function）在数学中为两不为空集的集合间的一种对应关系：输入值集合中的每项元素皆能对应唯一一项输出值集合中的元素。 其定义通常分为传统定义和近代定义，前者从运动变化的观点出发，而后者从集合、映射的观点出发。其近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。

解析式法

用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析式法。这种方法的优点是能简明、准确、清楚地表示出函数与自变量之间的数量关系；缺点是求对应值时往往要经过较复杂的运算，而且在实际问题中有的函数关系不一定能用表达式表示出来。

列表法

用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。这种方法的优点是通过表格中已知自变量的值，可以直接读出与之对应的函数值；缺点是只能列出部分对应值，难以反映函数的全貌。

图像法

把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。这种表示函数关系的方法叫做图象法。这种方法的优点是通过函数图象可以直观、形象地把函数关系表示出来；缺点是从图象观察得到的数量关系是近似的。

最简单的是正比例函数：

比如说买米，一千克5元，f(x)=5x，自变量是米的质量（>=0)，应变量是价钱（》=0）。

稍微复杂一点的是分段函数：

比如说水费，一个家庭一个月用水量6吨以下，每吨12元，超过六吨的部分6吨到10吨，超过六吨的部分每吨15元等等，自变量是水的吨位，应变量是水费。

另外一个常见的例子就是计程车，起步价（3公里以内）是6元，3公里以上又是什么价……自变量是里程，应变量是价钱。

在比较特殊的场合，特别是工程预算方面，还会遇到更复杂的函数

（一）、映射、函数、反函数

1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射

2、对于函数的概念，应注意如下几点：

（1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数

（2）掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式

（3）如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数

3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：

（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；

（2）由y=f(x)的解析式求出x=f－1(y)；

（3）将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f－1(x)，并注明定义域

注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起

②熟悉的应用，求f－1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算

（二）、函数的解析式与定义域

1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域求函数的定义域一般有三种类型：

（1）有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑；

（2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可如：

①分式的分母不得为零；

②偶次方根的被开方数不小于零；

③对数函数的真数必须大于零；

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等

应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分（即交集）

（3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可

已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域

2、求函数的解析式一般有四种情况

（1）根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式

（2）有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法比如函数是一次函数，可设f(x)=ax＋b（a≠0），其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可

（3）若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域

（4）若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量（如f(－x)，等），必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式

（三）、函数的值域与最值

1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

（1）直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域

（2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元

（3）反函数法：利用函数f(x)与其反函数f－1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如（a≠0）的函数值域可采用此法求得

（4）配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法

（5）不等式法求值域：利用基本不等式a＋b≥[a，b∈（0，＋∞）]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧

（6）判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域其题型特征是解析式中含有根式或分式

（7）利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上（或某个定义域的子集上）的单调性，可采用单调性法求出函数的值域

（8）数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域

2、求函数的最值与值域的区别和联系

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异

如函数的值域是（0，16]，最大值是16，无最小值再如函数的值域是（－∞，－2]∪[2，＋∞），但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2可见定义域对函数的值域或最值的影响

3、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值

（四）、函数的奇偶性

1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)（或f(－x)=f(x)），那么函数f(x)就叫做奇函数（或偶函数）

正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）f(x)=－f(x)或f(－x)=f(x)是定义域上的恒等式（奇偶性是函数定义域上的整体性质）

2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：

注意如下结论的运用：

（1）不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数；

（2）f(x)、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2上，f(x)＋g(x)是奇函数，f(x)·g(x)是偶函数，类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”；

（3）奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数；

（4）奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

3、有关奇偶性的几个性质及结论

（1）一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称

（2）如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数

（3）若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立

（4）若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的。

（5）若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)＋f(－x)是偶函数，G(x)=f(x)－f(－x)是奇函数

（6）奇偶性的推广

函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a＋x)=f(a－x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称，即y=f(a＋x)为偶函数函数y=f(x)对定义域内的任－x都有f(a＋x)=－f(a－x)，则y=f(x)的图象关于点（a，0）成中心对称图形，即y=f(a＋x)为奇函数

（五）、函数的单调性

1、单调函数

对于函数f(x)定义在某区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1>x2时，都有不等式f(x1)>（或<）f(x2)成立，称f(x)在[a，b]上单调递增（或递减）；增函数或减函数统称为单调函数

对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：

（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性

（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替

（3）单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内

（4）注意定义的两种等价形式：

设x1、x2∈[a，b]，那么：

①在[a、b]上是增函数；

在[a、b]上是减函数

②在[a、b]上是增函数

在[a、b]上是减函数

需要指出的是：①的几何意义是：增（减）函数图象上任意两点（x1，f(x1)）、（x2，f(x2)）连线的斜率都大于（或小于）零

（5）由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增（减）函数，且（或x1>x2），这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”

5、复合函数y=f[g(x)]的单调性

若u=g(x)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)]（或g(b)，g(a)）上的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上单调递增；否则，单调递减简称“同增、异减”

在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程

6、证明函数的单调性的方法

（1）依定义进行证明其步骤为：①任取x1、x2∈M且x1<x2；②讨论f(x1)>（或<）f(x2)；③根据定义，得出结论

（2）设函数y=f(x)在某区间内可导

如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数

（六）、函数的图象

函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识

求作图象的函数表达式

与f(x)的关系

由f(x)的图象需经过的变换

y=f(x)±b（b>0）

沿y轴向平移b个单位

y=f(x±a)（a>0）

沿x轴向平移a个单位

y=－f(x)

作关于x轴的对称图形

y=f(|x|)

右不动、左右关于y轴对称

y=|f(x)|

上不动、下沿x轴翻折

y=f－1(x)

作关于直线y=x的对称图形

y=f(ax)（a>0）

横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

y=af(x)

纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变

y=f(－x)

作关于y轴对称的图形

例定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0．

①求证：f(0)=1;

②求证：y=f(x)是偶函数；

③若存在常数c，使求证对任意x∈R，有f(x＋c)=－f(x)成立；试问函数f(x)是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由．

思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决这类问题一般采用赋值法．

解答：①令x=y=0，则有2f(0)=2f2(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)=1．

②令x=0，则有f(x)＋f(－y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(－y)=f(y)，这说明f(x)为偶函数．

③分别用（c＞0）替换x、y，有f(x＋c)＋f(x)=

所以，所以f(x＋c)=－f(x)．

两边应用中的结论，得f(x＋2c)=－f(x＋c)=－[－f(x)]=f(x)，

所以f(x)是周期函数，2c就是它的一个周期．

点评：联想公式cos(x＋y)＋cos(x－y)=2cosxcosy和特殊函数y=cosx是有益的．特值代入法在解选择题时有奇效，有时对某些解答题的处理也很独特，1996年全国高考理科数学压轴题就是范例．

2．方程与不等式

　　（1）方程与方程组

　　① 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数 学模型。

　　② 经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。［参见例7］

　　③ 会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中 的分式不超过两个）　　。

　　④ 理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的 一元二次方程。

　　⑤ 能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

　　（2）不等式与不等式组

　　① 能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。

　　② 会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组 成的不等式组，并会用数轴确定解集。

　　③ 能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单 的问题。

　　3．函数

　　（1）探索具体问题中的数量关系和变化规律［参见例8］

　　（2）函数

　　① 通过简单实例，了解常量、变量的意义。

　　② 能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。

　　③ 能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。［参见例9］

　　④ 能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值 。

　　⑤ 能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系。［参见例10］

　　⑥ 结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。［参见例11］

　（3）一次函数

　　① 结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式。

　　② 会画一次 函数的图象，根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解 其性质（k＞0或k ＜0时，图象的变化情况 ＝。

　　③ 理解正比例函数。

　　④ 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。

　　⑤ 能用一次函数解决实际问题。

　　（4）反比例函数

　　① 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式。

　　② 能画出反比例函数的图象，根据 图象和解析表达式y=kx（k≠0 ）探索并理解其性质（k>0或k<0时，图象的变化）。

　　③ 能用反比例函数解决某些实际问题。

　　（5）二次函数

　　① 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。

　　② 会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。

　　③ 会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决 简单的实际问题。

　　④ 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

(二)案例

　　例1 一次水灾中，大约有20万人的生活受到影响，灾情 将持续一个月。请推断：大约需要组织多少顶帐篷？多少吨粮食？

　　说明 假如平均一个家庭有4口人，那么20万人需要5万顶帐篷；假如一个 人平均一天需要0 5千克的粮食，那么一天需要10万千克的粮食……

　　例2 估计( -1)/2 与05哪个大

　　例3 在某地，人们发现某种蟋蟀叫的次数与温度之间有 如下的近似关系：记录蟋蟀每分叫 的次数，用这个次数除以7，然后再加上3，就得到当时的温度。温度（℃）与蟋蟀每分叫的 次数之间的关系是：温度 = 蟋蟀每分叫的次数 ÷7+3。试用字母表示这一关系。

　　例４观察下列图形并填表：

梯形个数 1 2 3 4 5 6 n

周 长 5 8 11 14

　　例5 对代数式3a作出解释。

　　说明 如葡萄的价格是3元/千克，买a 千克的葡萄需3a元；或正三角形的 边长为a，这个三角形的周长是3a。

　　例6 化简： (1)(x2-4x+4)/x2-4 ； (2)(x-2)/(x+2)+(x+2)/(x-2)

　例7 估计下列方程的解：

　　（1）x3-9=0； （2）x2+2x-10=0。

　　例8 5名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一 场，一共需要多少场比赛？10名同学呢？

　　说明 可以用列举、画图等方法。

　例9 小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家90 0米的报亭，母亲随即按原速返 回。父亲看了10分报纸后，用了15分返回家。下面的图形中哪一个表示父亲离家的时间与距离之间的关系？ 哪一个表示母亲离家的时间与距离之间的关系？

　例10 某书定价8元，如果购买10本以上、超过10本 的部分打八折。试分析并表达出购书数量与付款金额之间的关系。

　　例11 填表并观察下列两个函数的变化情况：

x 1 2 3 4 5

y1=50+x

y2=5x

（1）在同一个直角坐标系中画出上面两个函数的图象，比较它们有什么不同；

　　（2）当x从1开始增大时，预测哪一个函数的值先到达100。

函数问题是两个变量之间的一种依赖关系；而方程是变量之间的相等关系。

例如：火车速度是每小时120km，那么x小时后行走的路程y是多少？

y=120x（函数关系）

甲地到乙地500km，火车速度是每小时120km，从甲地出发2小时后，离乙地还多少路程？

设还有xkm，则500=120×2+x（方程）

1．了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数．

2．能由两个条件求出一次函数的表达式，一个条件求出正比例函数的表达式，并解决有关现实问题．

(二)能力训练要求

能根据函数的图象确定一次函数的表达式，培养学生的数形结合能力．

(三)情感与价值观要求

能把实际问题抽象为数字问题，也能把所学知识运用于实际，让学生认识数字与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．

希望对你有用

（一）求函数的解析式

1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；

2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；

3、求函数解析式的一般方法有：

（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；

（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；

（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；

（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域

1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；

2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；

3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；

4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；

5、分段函数的定义域是各个区间的并集；

6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；

7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；

（三）求函数的值域

1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；

2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；

3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；

4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；

5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；

6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；

（

第一章 集合与函数概念(全章教案)第一章 集合与函数概念

一 课标要求：

本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁

性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力

函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识

1 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号

2 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用

3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力

4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义

5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力

6 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集

7 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用

10 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应

12 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法

二 编写意图与教学建议

1 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算

2 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念 教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。

3 教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿到以后的数学学

§111集合的含义与表示

一 教学目标：

l知识与技能

(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；

(2)知道常用数集及其专用记号；

(3)了解集合中元素的确定性互异性无序性；

(4)会用集合语言表示有关数学对象；

(5)培养学生抽象概括的能力

2 过程与方法

(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义

(2)让学生归纳整理本节所学知识

3 情感态度与价值观

使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性

二 教学重点难点

重点：集合的含义与表示方法

难点：表示法的恰当选择

三 学法与教学用具

1 学法：学生通过阅读教材，自主学习思考交流讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标

四 教学思路

(一)创设情景，揭示课题

1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗

引导学生回忆举例和互相交流 与此同时，教师对学生的活动给予评价

2接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢这就是我们这一堂课所要学习的内容

（二）研探新知

1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：

(1)1—20以内的所有

(3)所有的安理会常任理事国；

(4)所有的正方形；

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；

(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；

(7)方程 的所有实数根；

(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体

2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么

3每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义

一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集)集合中的每个对象叫作这个集合的元素

4教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母 …表示

(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维

1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点并注意个别辅导，解答学生疑难使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性互异性和无序性只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等

2．教师组织引导学生思考以下问题：

判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

(1)大于3小于11的偶数；

(2)我国的小河流

让学生充分发表自己的建解

4教师提出问题，让学生思考

(1)如果用A表示高—(3)班全体学生组成的集合，用 表示高一(3)班的一位同学， 是高一(4)班的一位同学，那么 与集合A分别有什么关系由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于

如果 是集合A的元素，就说 属于集合A，记作

如果 不是集合A的元素，就说 不属于集合A，记作

(2)如果用A表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国曰本与集合A的关系分别是什么请用数学符号分别表示．

(3)让学生完成教材第6页练习第1题

5教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号并让学生完成习题11A组第1题

6教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考讨论下列问题：

(1)要表示一个集合共有几种方式

(2)试比较自然语言列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点适用的对象是什么

(3)如何根据问题选择适当的集合表示法

使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。

(四)巩固深化，反馈矫正

教师投影学习：

(1)用自然语言描述集合{1，3，5，7，9}；

(2)用例举法表示集合

(3)试选择适当的方法表示下列集合：教材第6页练习第2题

(五)归纳整理，整体认识

在师生互动中，让学生了解或体会下例问题：

1．本节课我们学习过哪些知识内容

2．你认为学习集合有什么意义？

3．选择集合的表示法时应注意些什么

(六)承上启下，留下悬念

§112集合间的基本关系

一 教学目标:

1．知识与技能

(1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

(2)理解子集真子集的概念。

(3)能使用 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用

2 过程与方法

让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义

3情感态度与价值观

(1)树立数形结合的思想 ．

(2)体会类比对发现新结论的作用

二教学重点难点

重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念

难点：难点是属于关系与包含关系的区别．

三学法与教学用具

四教学思路

(—)创设情景，揭示课题

问题l：实数有相等大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？

让学生自由发言，教师不要急于做出判断。而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察研探

(二)研探新知

投影问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？

①一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集

记作：

读作：A含于B(或B包含A)

②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等

教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解。并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。如图l和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn图

(三)学生自主学习，阅读理解

然后教师引导学生阅读教材第7页中的相关内容，并思考回答下例问题：

(1)集合A是集合B的真子集的含义是什么什么叫空集

(2)集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别

(3)0，{0}与 三者之间有什么关系

(4)包含关系 与属于关系 正义有什么区别试结合实例作出解释

(5)空集是任何集合的子集吗空集是任何集合的真子集吗

(6)能否说任何一人集合是它本身的子集，即

教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程，然后让学生发表对上述问题看法

偶函数的图象关于 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

（