复变函数与积分变换

模拟电子技术非常难，不过以后用处非常大，主要是二极管，三极管，及场效应管的检测及应用，对以后维修各种电器设备非常有用，但是确实学习挺难的。复变函数与积分变换比较容易些，不过这部分的理论也有难度，但考题不会难，要记的东西比较多，只要记住，考题一定能做出来。 1、记住积分变换和积分逆变换的定义； 2、记住性质（线性性质、微分性质、平移性质这三条必须记，最好把相似性质、积分性质也记住）； 3、记住一些常见函数的拉普拉斯变换：正弦、余弦、指数函数，而且计算时要会运用微分性质。掌握这些应该就差不多了，基本上不需要理解，都是记。补充：傅里叶变换中的δ函数如果在考试范围内，其性质也需要记。至于学分，各学校规定不太一致，模拟电子技术一般4学分左右，复变函数与积分变换一般2学分左右

复变函数与积分变换期末试题

一．填空题（每小题3分，共计15分）

1．

1-i 的幅角是

；2

2

(5)

Ln (-1+i ) 的主值是

1f (z ) =）f （

；3

1+z 2，(0) =（ 0 ），4．z =0是

z -sin z 1

f (z ) =的（ 一级 ）极点；5． ，Re s [f (z ), ∞]=（-1 ）；

z 4z

二．选择题（每题3分，共15分）

1．解析函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 的导函数为（ ）；

（A ）

f "(z ) =u x +iu y ； （B ）f "(z ) =u x -iu y ；

（C ）

f "(z ) =u x +iv y ； （D ）f "(z ) =u y +iv x

C

2．C 是正向圆周z =3，如果函数f (z ) =（ ），则f (z ) d z =0．

33(z -1) 3(z -1) ； （B ）； （C ）；

2z -2z -2(z -2) （A ）

n

c z 3．如果级数∑n

n =1

∞

在z =2点收敛，则级数在

（A ）z

=-2点条件收敛 ； （B ）z =2i 点绝对收敛；

共6页第 页

（C ）z =1+i 点绝对收敛； （D ）z =1+2i 点一定发散．

4．下列结论正确的是( )

（A ）如果函数f (z ) 在z 0点可导，则f (z ) 在z 0点一定解析；

（C ）如果

C

f (z ) dz =0，则函数f (z ) 在C 所围成的区域内一定解析；

（D ）函数

f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是

u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数．

5．下列结论不正确的是（ ）．

1

∞为sin 的可去奇点；(A) (B) ∞为sin z 的本性奇点；

z

(C)

∞为

的孤立奇点sin z

1

三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）

（1）．设f (z ) =x +axy +by +i (cx +dxy +y ) 是解析函数，求

2

2

2

2

a , b , c , d

解：因为f (z ) 解析，由C-R 条件

共6页第 页

∂u ∂v ∂u ∂v ==- ∂x ∂y ∂y ∂x

2x +ay =dx +2y ax +2by =-2cx -dy ,

a =2, d =2, ，a =-2c , 2b =-d , c =-1, b =-1,

给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

e z

d z 其中C 是正向圆周： （2）．计算C 2

(z -1) z

解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程

e z

因为函数f (z ) =在复平面内只有两个奇点z 1=0, z 2=1，分别以z 1, z 22

(z -1) z 为圆心画互不相交互不包含的小圆

c 1, c 2

且位于c 内

e z

C (z -1) 2z d z =C 1

e z e z (z -1) 2d z d z + C 2(z -1) 2z

e z e z

=2πi () "+2πi

z z =1(z -1) 2

=2πi

z =0

无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

z 15

（3）．d z

z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3

解：设f (z ) 在有限复平面内所有奇点均在：z

共6页第 页

z 15

z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3d z =-2πi Re s [f (z ), ∞] -----（5分）

11

=2πi Re s [f () 2] ----（8分）

z z

11f () 2=z z

1() 15(1+

12143) (2+() ) 2

z z

1

2z

111f () 2=有唯一的孤立奇点z =0, z z z (1+z 2) 2(2z 4+1) 3

11111Re s [f () 2, 0]=lim zf () 2=lim =1 2243

z z z z (1+z ) (2z +1) z →0z →0

z 15

∴d z =2πi --------（10分）

z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3

z (z 2-1)(z +2) 32

(z -3) （4）函数f (z ) =在扩充复平面上有什么类型的奇

(sinπz ) 3

点？，如果有极点，请指出它的级 解

：

z (z 2-1)(z +2) 3(z -3) 2

f (z ) =的奇点为z =k , k =0, ±1, ±2, ±3, ，∞3

(sinπz )

sin πz ）=0的三级零点，（1）z =k , k =0, ±1, ±2, ±3, 为（

，z =±1, 为f (z ) 的二级极点，z =-2是f (z ) 的可去奇点，（2）z =0

（3）z

3

=3为f (z ) 的一级极点，

共6页第 页

（4）z =2, -3, ±4 ，为f (z ) 的三级极点；

（5）∞为f (z ) 的非孤立奇点。

备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。

1

在以下区域内展开成罗朗级数； 2

z (z -1)

四、（本题14分）将函数f (z ) =

（1）0

解：（1）当0

111

f (z ) =2=-[]"

z (z -1) (z -1) (z -1+1)

∞1

]"=[∑(-1) n (z -1) n ]" 而[

(z -1+1) n =0

=∑(-1) n n (z -1) n -1

n =0

∞

f (z ) =∑(-1) n +1n (z -1) n -2 -------6分

n =0

∞

（2）当0

111f (z ) =2=-2=-2

z (z -1) z (1-z ) z

n

z ∑ n =0

∞

共6页第 页

=-∑z n -2 -------10分

n =0

∞

（3）当1

f (z ) =

11

=

z 2(z -1) z 3(1-1)

z

1n ∞1

() =∑n +3 ------14分 ∑n =0z n =0z

∞

1

f (z ) =3

z

每步可以酌情给分。

五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题：

⎧y ""(x ) -5y "(x ) +4y (x ) =e -x

⎨

⎩y (0) =1=y "(0) =1

解：对y (x ) 的Laplace

变换记做L (s ) ，依据Laplace 变换性质有

1

…（5分） s +1

s 2L (s ) -s -1-5(sL (s ) -1) +4L (s ) =

整理得

11

+

(s +1)(s -1)(s -4) s -11111

…（7分） =-++

10(s +1) 6(s -1) 15(s -4) s -1151

=++

10(s +1) 6(s -1) 15(s -4)

L (s ) =

1-x 5x 14x

e +e +e …（10分） 10615

共6页第 页

y (x ) =

六、（6分）求

f (t ) =e

+∞

-βt

(β>0) 的傅立叶变换，并由此证明：

cos ωt π-βt

d ω=e 22⎰0β+ω

-βt

-i ωt

解：F (ω) =⎰e e

-∞

+∞

dt (β>0) --------3分

F (ω) =⎰e

-∞

-i ωt βt

e dt +⎰e -i ωt e -βt dt (β>0)

+∞

+∞

=⎰e

-∞

(β-i ω) t

dt +⎰e -(β+i ω) t dt (β>0)

=

e

(β-i ω) t 0

-

-∞

e

-(β+i ω) t +∞

(β>0)

F (ω) =

112β+ =2 (β>0) ------4分 2

-i +i β+ω

+∞

1f (t ) =

1=⎰

-∞

e i ωt F (ω) d ω (β>0) - -------5分

⎰

+∞

-∞

e i ωt

2β

d ω (β>0) 22

β+ω

=

⎰2β

1

+∞

2

ββ+ω

2

-∞

(cosωt +i sin ωt ) d ω (β>0)

=

⎰

+∞

cos ωt i

ω +

β2+ω2βsin ωt

⎰-∞β2+ω2ω (β>0)

+∞

共6页第 页

f (t ) =

2β

π

⎰

+∞

cos ωt

ω (β>0) ， -------6分 22

β+ω

+∞

cos ωt π-βt

d ω=e 22⎰0β+ω

«复变函数与积分变换»期末试题简答及评分标准（B ）

填空题（每小题3分，共计15分）

（）；2 Ln (-1-i ) 的

）；3

f (z ) =

1

1+z 2

，

f (7) (0) =（ 0 ）；

z -sin z 1

f (z ) =f (z ) =Re s [f (z ), 0]=4． ，（ 0 ） ；5． ，

z 2z 3

Re

s [f (z ), ∞]=（ 0 ）；

二．选择题（每小题3分，共计15分）

1．解析函数

f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 的导函数为（ ）；

（A ）

f "(z ) =u y +iv x ； （B ）f "(z ) =u x -iu y ；

（C ）

f "(z ) =u x +iv y ； （D ）f "(z ) =u x +iu y

C

2．C 是正向圆周z =2，如果函数f (z ) =（ ），则f (z ) d z =0．

3z 3z 3

（B ）； （C ）； （D ） 22

z -1(z -1) (z -1)

共6页第 页

3．如果级数∑c n z n 在z =2i 点收敛，则级数在

n =1

∞

（A ）z =-2点条件收敛 ； （B ）z =-2i 点绝对收敛； （C ）z =1+i 点绝对收敛； （D ）z =1+2i 点一定发散． 4．下列结论正确的是( )

（A ）如果函数f (z ) 在z 0点可导，则f (z ) 在z 0点一定解析；

(B) 如果f (z ) dz =0, 其中C 复平面内正向封闭曲线, 则f (z ) 在C 所围成

C

的区域内一定解析；

（C ）函数f (z ) 在z 0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z -z 0的幂级数，而且展开式是唯一的；

（D ）函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、

v (x , y ) 在该区域内均为调和函数．

5．下列结论不正确的是（ ）． （A ）、n z l

是复平面上的多值函数； (B ) 、cosz 是无界函数；

z (C ) 、sin z 是复平面上的有界函数；（D ）、e 是周期函数．

三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）

2

2

2

2

（1）求a , b , c , d 使f (z ) =x +axy +by +i (cx +dxy +y ) 是解析函数，

解：因为f (z ) 解析，由C-R 条件

共6页第 页

∂u ∂v ∂u ∂v ==- ∂x ∂y ∂y ∂x

2x +ay =dx +2y ax +2by =-2cx -dy ,

a =2, d =2, ，a =-2c , 2b =-d , c =-1, b =-1,

给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）．

C

1

d z ．其中C 是正向圆周z 2

z (z -1)

=2；

解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程

1

在复平面内只有两个奇点z 1=0, z 2=1，分别以z 1, z 22

(z -1) z

因为函数f (z ) =

为圆心画互不相交互不包含的小圆

c 1, c 2

且位于c 内

1

C (z -1) 2z d z =C 1

11(z -1) 2d z d z + C 2(z -1) 2z

11

"=2πi () +2πi z z =1(z -1) 2

1

3z

=0

z =0

z e

d z ，其中C 是正向圆周z =2； （3）．计算C

(1-z )

解：设f (z ) 在有限复平面内所有奇点均在：z

z =2

f (z)dz =-2πi Re s [f (z ), ∞]=2πic -1 -----（5分）

共6页第 页

1

31z 21z z e z e 111111=-=-z 2(1++++ )(1++++ ) 23231(1-z ) z 2! z 3! z z z z 1-z

=-(z 2+z +111111++ )(1++++ ) 2232! 3! z 4! z z z z

811+) =- 32! 3! c -1=-(1+1+

z =28f (z)dz =-2πi 3

(z 2-1)(z +2) 3

（4）函数f (z ) =在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有(sinπz ) 3

极点，请指出它的级

f (z ) 的奇点为z =k , k =0, ±1, ±2, ±3, ，∞

3z =k , k =0, ±1, ±2, ±3, 为（sin πz ）=0的三级零点，

z =±1, 为f (z ) 的二级极点，z =-2是f (z ) 的可去奇点，

z =0, 2, -3, ±4 ，为f (z ) 的三级极点；

∞为f (z ) 的非孤立奇点。

给出全部奇点给5分。其他酌情给分。

共6页第 页 11

四、（本题14分）将函数f (z ) =

朗级数； 1在以下区域内展开成罗z 2(z +1)

（1）0

（1）0

解：（1）当0

111f (z ) =2=[]" z (z +1) (z +1) (1-(z +1)

∞∞1n -1n ""=n (z +1) []=[(z +1) ]而 ∑∑(1-(z +1) n =0n =0

f (z ) =∑n (z +1) n -2 --------6分

n =0∞

（2）当0

11f (z ) =2=z (z +1) z 2

∞n n (-1) z ∑n =0∞

=∑(-1) z n -2 -----10分

n =0

（3）当1

共6页第 页

12

f (z ) =11=z 2(z +1) z 3(1+1)

z

1n ∞n 1(-) =(-1) ∑∑n +3 --------14分 z z n =0n =0∞1f (z ) =3z

五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题

⎧y ""(x ) +2y "(x ) -3y (x ) =e -x

⎨ "y (0) =0, y (0) =1⎩

解：对y (x ) 的Laplace 变换记做L (s ) ，依据Laplace 变换性质有

1 …（5分） s +1s 2L (s ) -1+2sL (s ) -3L (s ) =

整理得

s +2 …（7分） (s +1)(s -1)(s +4) L (s ) =

131y (x ) =-e -x +e x -e -3x …（10分） 488

六、（本题6分）求⎧1t ≤1f (t ) =⎨的傅立叶变换，并由此证明： t >10⎩

⎧πt

ω0⎪0t >1⎩

共6页第 页 13

解：F (ω) =⎰+∞

-∞e -i ωt f (t ) dt

F (ω) =⎰e -i ωt dt -------2分 -11

e =-i ω-i ωt 1=i

-1e -i ω-e i ωω=2sin ωω----- 4分

1f (t ) =2π

=⎰+∞-∞e i ωt F (ω) d ω ----------- 5分 π⎰

11+∞-∞e i ωt sin ωωd ω =π⎰2+∞sin ω-∞ω(cosωt +i sin ωt ) d ω =π⎰+∞sin ωcos ωt

0ωω + π⎰i +∞sin ωsin ωt

-∞ωω

+∞sin ωcos ωt ω d ω=π2f ⎧πt 1⎩

共6页第 页

14

zn=1/(1+05i)^n 因为|1+05i|=√(1+05²)=√125>1 所以zn收敛于0

复变函数与积分变换是运用复变函数的理论知识解决微分方程和积分方程等实际问题的一门课程在工科的教育教学体系中，本课程属于基础课程，在培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着重要的作用从历史上看，复变函数理论一直伴随着科学技术的发展，从实际需要中提炼数学理论并进行研究，并反过来促进科学技术的发展通过学习大家会发现，复变函数除了其严谨且优美的理论体系外，在应用方面尤其有着独到的作用，它既能简化计算，又能体现明确的物理意义，在许多领域有广泛应用，如电气工程、通信与控制、信号分析与图像处理、机械系统、流体力学、地质勘探与地震预报等工程技术领域通过本课程的学习，不仅可以掌握复变函数与积分变换的基础理论及工程技术中的常用数学方法，同时还为后续有关课程的学习奠定了必要的数学基础

本书基于有限的课时，对复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数理论及其应用、共形映射、Fourier变换和Laplace变换等内容作了较为系统的介绍在概念阐述上力求做到深入浅出，突出基本结论和方法的运用，在知识体系完整性的基础上，避免了一些太过专业的推导过程，尽量做到数学过程简单易懂，结论形式易于运用，形成了自己的特色

在编写过程中突出了以下几个特点：

(1) 注重强调理论的产生背景和其中蕴含的思想方法，注重理论联系实际，数学过程力求精练在不影响内容完整性和系统性的基础上，去掉了传统课本中的一些较难而又与应用没有紧密关联的知识点，使学生从枯燥的学习过程中摆脱出来，轻松入门

(2) 对基本概念的引入尽可能联系实际，突出物理意义； 基本结论的推导过程深入浅出、循序渐进； 基本方法的阐述具有启发性，使学生能够举一反三，融会贯通

(3) 例题和习题丰富，有利于学生掌握所学内容，提高分析问题和解决问题的能力

复变函数论主要作用是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。

积分变换最根本的可以用他们来解决数理方程。

复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。

积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。

扩展资料：

复变函数的内容：

复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。

如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。

复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。

利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。

黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。现时，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。

复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。

导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、d性理论、静电场 、电路理论等方面都得到了广泛的应用。

留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。

计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。

把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。

广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，这些年来这方面的理论发展十分迅速。

从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。

它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。

参考资料：

参考资料：

自考复变函数与积分变换是数学中的重要概念，在许多科学和工程领域有着广泛的应用。本文主要讨论自考复变函数与积分变换的定义、几何图像与特殊的解析函数、Laplace变换、Fourier变换及其在工程中的应用。

自考复变函数与积分变换 定义自考复变函数是一种复变函数，它将一个实变函数变换成另一个实变函数，从而将一个复变函数的函数值变换成另一个复变函数的函数值。积分变换是一种数学变换，它可以将一个函数的积分变换成另一个函数的积分。

几何图像与特殊的解析函数 几何图像自考复变函数的几何图像是一种抽象的曲线，它由一系列有序的点组成，每一点再通过其他点连接起来，形成一种几何图形。这种几何图形可以用来描述一个复变函数的函数值，从而帮助我们理解复变函数的特性。

Laplace变换 定义Laplace变换是一种数学变换，它将一个实变函数变换成另一个实变函数，以此来解决积分和微分方程。它可以将一个复变函数的函数值变换成另一个复变函数的函数值，从而简化复杂的计算。

32 应用Laplace变换在工程中有广泛的应用，它可以用来求解积分和微分方程，从而解决实际工程问题。例如，Laplace变换可以用来分析电力系统中的电压和电流，从而更好地设计和控制电力系统。

Fourier变换 定义Fourier变换是一种数学变换，它可以将一个实变函数变换成另一个实变函数，从而可以求解微分方程。它可以将一个复变函数的函数值变换成另一个复变函数的函数值，从而简化复杂的计算。

42 应用Fourier变换在工程中也有广泛的应用，它可以用来分析信号的结构，从而更好地提取信号的特征。例如，Fourier变换可以用来检测脉冲信号的频率，从而检测信号的特征，更好地提取信号的特征。

结论：自考复变函数与积分变换的定义、几何图像与特殊的解析函数、Laplace变换、Fourier变换及其在工程中的应用。它们在工程中有着广泛的用途，可以用来分析信号的结构，从而更好地提取信号的特征，解决实际工程问题。

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