函数无界的定义是什么？

取数列：Xn=1/(2nπ+π/2)，则Xn∈(0,1)。且Xn的极限为0，对应f(Xn)的极限为正无穷大即函数在这个区间内无界。

无界函数的定义：对任意的M大于等于0且小于正无穷，存在x，使得绝对值fx大于等于M，则fx无界。

无界函数即不是有界函数的函数。也就是说，函数y=f(x)在定义域上只有上界(或只有下界)；或者既没有上界又没有下界，称f(x)在定义域上无界，在定义域无界的函数称为无界函数 。

无界函数与无穷大量两个概念之间的区别：

1、无界函数的概念是指某个区间上，若对于任意的正数，总存在某个点，使得绝对值fx大于等于m，则称该函数是区间上的无界函数。

2、无穷大量是指在自变量的某个趋限过程下的因变量的变化趋势，若对于任意正数，总存在对一切满足，则称函数是无穷大量。

上确界的概念类似于最大值,例如函数f(x,y)=x+y,0≤x≤1,0≤y≤1,这里可以看出f(x,y)的最大值是2,因此任何一个大于等于2的数都是其上界,根据上确界的定义,上确界是所有上界中最小的那个,因此上确界就是2注意如果x和y的范围改成0

对于全序集B,A包含于B,a为A的一上界(任意b∈B有b≤a),且任意ε>0,存在c∈A,使得a-ε<c,则称a为集合A的上确界

函数的上确界应该指函数象集在R中的上确界

不能。

根据定义，只有既有专上界又属有下界的函数，才有资格称为有界函数。同样根据定义，所有有界函数，必然既有上界又有下界。这就和根据定义，自然数必然不为负数一样，定义是这样规定。

有界确实是必须有上界，并且有下界。数列是从a0开始的，就说明它其实是一个类似射线的线，是有一端，这一端就代表了上界或者下界，只要知道另一个界就能证明有界了，这就是数列的单调有界准则。

有界的意思：

有界等价于既有上界也有下界。

数列的有界指的是整体有界，即数列｛Xn｝的所有项都满足｜Xn|≤M，M是个正的常数。

函数的有界必须指明自变量的某个取值范围，所以大多是局部有界，比如f(x)=x²在（-∞，+∞）内无界，但在（0,1)内有界。

有界注意点：

关于函数的有界性．应注意以下两点：

(1)函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一。

(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界。如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。

上确界sup、下确界inf和最小值min、最大值max的区别（图源于）

ps： 需要注意函数的最值定义， 如函数的最小值是指函数在定义域中取到的最小值， 如上面的例子， x ∈ ( 1 , 2 ) x\in{(1, 2)} x∈(1,2)，所以1和2都不是函数的最小值， 因为这两个端点都不在定义域内， 但是它们分别是函数的下、上确界

最值定义（）

另一篇博主的博客， 机器学习中经常出现的inf和sup

总结： 一个函数如果有最大、小值， 则最大、小值就是该函数的上、下确界， 如果没有最大、小值， 则也可能有上下确界，因为只要函数是有界的， 它就会有上、下确界，只是此时的上下确界不在函数的值域内

（1）S无上界，即此数集没有最大值。

式子表达：对任意实数Q，都存在x0∈S,使得x0＞Q。

（2）S无界，即此数集没有上下限，也就是没有最大值和最小值。

式子表达：对任意正实数Q，都存在x0∈S，使得|x0|＞Q。

   

扩展资料：

 上界（upper bound）是一个与偏序集有关的特殊元素，指的是偏序集中大于或等于它的子集中一切元素的元素。若数集S为实数集R的子集有上界，则显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为数集S的上确界。

有界性：函数的有界性定义：若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

参考资料：

-上界（数学名词）-有界性