什么是凹函数，什么是凸函数？傻傻分不清楚

凹函数是一个定义在某个向量空间的凸集C（区间）上的实值函数f。设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1<X2和任意的实数λ∈（0，1），总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则f称为I上的凹函数。

凸函数,是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。

扩展资料：

这个定义从几何上看就是：

在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。 同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。

直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如  凹函数就是图像向下凹进去的，比如常见的  。

如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0;

一般来说，可按如下方法准确说明：

1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）

2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）

常见的凸函数

1 指数函数 eax

2 幂函数 xa,x∈R+,1≤a或者a≤0

3 负对数函数 - log x

4 负熵函数 x log x

5 范数函数 ||x||p

如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调下跌的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。）

如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。

如果凹函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。如果凸函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。

如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是非正值。如果二阶导数是负值的话它就是严谨凹函数，但相反而言又不一定正确。

参考资料：

参考资料：

三角凸函数是一种数学函数，也被称作“三角形函数”或“三角形凸函数”。它的函数图像可以看成由两条线段和一条斜线段组成的一个凸三角形，具有凸函数的一些性质，例如在区间内单调不降，极值只有一个等。具体来说，三角凸函数的定义域为实数集合，其图像是一条由两个点和一条斜线段组成的凸三角形，斜线段上存在特定的线性函数。三角凸函数的函数值是由斜线段上的线性函数和圆括号内参数项的乘积求和组成的。三角凸函数在信号和图像处理等方面有广泛的应用和研究，具有较高的实用价值和应用前景。

凸导数的增减性:单调递减

凹导数的增减性:单调递增

即

若f(x)在(a,b)有定义，在定义域内取x1,x2，非负数q1,q2，q1+q2=1

有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)

则f(x)在(a,b)内下凸，为凸函数。

否则相反

知识教育不可能把所有的情况都讲了的，如果两个知识进行简单的组合就能出来，再重复讲究没有意义了。既然f是凸函数时，-f是凹函数，那么所有凸函数的性质进行简单推导就应该出来了，你就缺这个简单推导的过程

以导函数为例，如果f'(x)是增函数，那么(-f(x))'当然是减函数

正式答辩开始，下面是我的部分发言：

尊敬的评委老师以及在座的各位同学：大家早上好。我是X级XX专业的XX，很高兴在这里论文答辩，希望今天能为我20年的学生生涯画上一个完满的句号。（这句可是我琢磨了半天的经典啊）

下面，论文答辩 论文答辩ppt 论文答辩技巧,就我毕业论文的选题原因，国内外研究现状，研究目的，研究方法，研究内容，研究结论等问题向大家做一个简单的汇报。

之所以选择这样一个论文题目，主要是基于以下三方面的考虑：…………

以上是我毕业论文的一些基本情况，欢迎各位老师批评指正（这句话挨了一顿批，答辩主席先给我个下马威。这句可是我上网时看到的，以示谦卑，没想到犯了本本主义错误。答辩之前最好是多答辩评委老师的性格爱好都有个底，尤其是答辩委员会的主席，他可是一把手），谢谢。

在答辩中有一些小体会，这里与大家分享，希望对大家有所帮助。

答辩分为三个阶段：陈述期（20-25分钟）、提问期、回答期，三个阶段大致一个多小时左右一个人。

在陈述期的20分钟，有的学院要答辩者做PPT,有的则不用；有的陈述时要脱稿，有的则可以看稿子。在这个阶段，一般情况下没有老师在听你讲什么，他们都在低头看你给他们发的论文和论文简介，因为这么厚的论文是没有老师有时间看的，他们也都是临阵摸q，看个大概。所以在这一阶段，你的任务就是磨时间，注意语气要平缓，要稳，发言时尽量不要太专业化，没有人听你讲晦涩的理论，当然，更不能拉家常，说一些你们邻居家怎们怎么的事情，这显得你太没专业素养和水准。总之，这个度要拿捏好。注意观察老师和同学的表情，察言观色才是硬道理。

在提问期这个阶段，聆听是你的主要任务。老师会为你磨时间。有本校的老师，一般都会先评价下你的论文，当然是说很多好话的，这都是讲给答辩委员会主席听的。接下来就是提问，老师提问的时候你要记好他的问题，理解他的意思。在记得时候要注意把你回答的要点关键字一起写上，因为老师问完了你就要回答的，如果你反应比较快，你可以把老师的问题分类做个概述，然后按类作答，这样更显得你这孩子不错。

回答之前要对老师的评价和建议表示感谢，接下来回答老师的问题。第一个问题，先念一下题目，然后作答。作答时忌讳一盲目自大，得意洋洋，一副欠抽的样子，忌讳二信心不足，慌里慌张，没有底气，一副心虚的样子。要知道论文是你写的，你看的相关东西比他们多，所以你可以大胆的说，只要自圆其说即可。在这一阶段回答时要言简意赅，一语中的，废话少说，言多语失，能说就说，不能说的就说自己在这方面写论文的时候也考虑过，但考虑的不充分。忌讳的是不知道了就不说话，大家都不说话，气氛就凝固了，在论文答辩中如果没人说话，那就不好了，所以一定要说，哪怕你说不会，也比不说好。

值得一提的是，老师提问的问题有大有小。有对理论的，所以你要对你论文的理论了如指掌，尤其是一些相近的名词，尤其是长的差不多的词，比如这次我们同学的社会资源、社会资本、社会关系这三个词就让老师给缠了半天；有对方法的，所以你要对你做的调查细节注意再注意，不要有闪失。应付的东西老师都能看出来，人家干了这么多年，眼睛都很毒的；有对细节感兴趣的，所以你要对你的论文的逻辑结构、句子通顺与否、措词、错别字、标点尤其是摘要部分注意注意再注意注意，在这些方面出问题显得你不够认真仔细，所以校对时要下功夫，可以和同学交换校对，因为我们对自己写的东西，挑错别字是很困难的。摘要就那么点字，又在论文开头，这可是门面啊，还有最好有个后记，感谢之类的话，虽然老套，但咱们读了这么多年的书也应该感谢一下老师，必须的嘛。

答辩通过基本上是十拿九稳的，但是咱们也不能弄的太难看。自己丢人无所谓，给导师丢人就是罪过了。为了导师，为了自己，也要好好表现。好了，基本上就说这么多吧，各个专业各个学校的情况不一样，我说的只是一家之言，仅供参考而已，希望对大家有些帮助。

利用凸函数的性质证明有关不等式，可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证明比较容易，证明过程简单的问题，关键是寻找合适的凸函数，若不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的。

利用凸函数求最大值最小值可以求相关问题最优解。

最优化研究的是，在现实问题上，使用数学模型建模，并在若干约束的条件下，求问题的最优解。

它的一般形式如下：

g和h函数为约束函数，求函数f的最值

如下图，一个立体面，使用一个平面把立体面切开，并投影到x y而得到的曲线，称为等值面

假设f(x1, x2)，那么对f对X的方向导数如图所示

先对函数在(x1, x2)进行x1求偏导，然后再在(x1+e, x2)求偏导。e趋向零

对函数f(x)求方向导数，当在x点，沿方向导数相同或相反方向，为最速方向

分别对函数f进行一阶求导和二阶求导，可以对函数进行二次展开。其中二阶求导公式为Hessian矩阵

在集合内的任意两点，如果它们的连线都落在集合内，那么称集合为凸集

如图所示，如果函数上的任意两点连线，都高于两点内的函数值，称为凸函数

对于问题，如果f，g，h都为凸函数

那么局部极小点，必为全局最优解

因为在连续空间内，函数必然呈现单峰性，要么单调下降，要么单调上升，要么先下降，后上升

以上两图分别表示了凸函数的极值和非凸函数的极值情况

那么有下图

如图，可以看出如果f的负导数如果与约束条件的导数线性相关，则得到极值点

否则可以进行迭代优化

f导数与约束条件导数线性相关为，上式得到的系数都为正数

图形意义如下

可以看出，KT条件可以在每一步，通过选取一个下降的方向，得到一个更优值，所以对于凸函数，得到的极值点，一定为全局最优点。

但是如果对于非凸函数，那么得到的极值点，有可能不是全局最优解

通过选取方向S，进行a步长的探索，求得一个f_k+1，如果选取的方向正确和步长适当，那么函数f，就会再下一个迭代得到一个更优解

一般来说，选取其中一个终止条件即可

有时可能需要结果点距和值差准则来判断是否终止

对于凸函数f(x)无约束优化，函数值必然呈现高低高的分布

那么我么可以任意选取两个点x_left, x_right，然后再在中间选取两个点 x_mid_left, m_mid_right

那么情况有可能是

此时可以消除不可能的区间，从而得到一个更小的搜索范围，进行迭代搜索

其中为了得到中间的两个点，如果采取每次选取的区间的比例都相等

可以得到系数刚好为0618

通过计算函数f的导数，取反，得到方向S，然后x沿S方向前进u长，得到一个更优解

一般来说在远离极值点时，收敛比较快，由于梯度比较大。

但是在临近极值点的时候，梯度会趋向与零，导致收敛速度迅速减慢。

此时需要结合具有二次收敛的共轭方向法，迅速逼近极值点

根据泰勒展开式，任意函数都能展开为二阶的二次函数

而二次函数为凸函数，可以通过对二次泰勒展开式对x求导，并导数为零，得到二次函数的极值点x_k，然后再在x_k，对f函数进行泰勒展开，并继续求导，不断逼近极值点

由于计算复杂，一般在工程上不直接使用牛顿法来计算极值

而是通过它的变种，简化计算复杂度，来应用于工程，例如下面的变尺度法

通过牛顿法，公式有上图

如果设置H_k为单位矩阵，那么公式则为梯度法

如果H_k是Hession举证，则为牛顿法

有没有办法，可以通过迭代，让H_k从单位矩阵逼近Hession矩阵

那么有H_k+1 = H_k + C，其中H_1为

根据泰勒展开式，进行二阶展开，并令导数为零，使用x_k, x_k+1，代入展开式，求得C的表示

那么既可以在每次迭代的时候，通过修正，不断逼近Hession矩阵

通过构造函数，使得约束优化问题转化为无约束优化问题。从而简化优化算法

如果初始点在可行域内

可以对函数f(x)，g(x)<=0构造函数

p(x) = f(x) - r/g(x)

由于初始点x在可行域内，那么必然x满足g

使用无约束优化求解极值，当x越接近边界g(x)时，g(x) -> 0

会导致1/g -> 无穷大

使得p(x)越来越大

所以这会迫使函数的极值与边界有一段距离

通过不断使得r的值变小，可以让极值点不断逼近边界值

当r趋于零时，p(x)的极值点与f(x)的极值点重合

如果初始点在可行域外

可以建立公式

p(x) = f(x) + M{max(g(x), 0)}

其中st: g(x)<0

当x不满足g时，那么g>0

此时M就会对函数进行惩罚

通过无约束优化的方法

会让不在可行域的点，不断的向可行域拉回来

通过迭代M from 1 to no limit

会迫使函数的极值点落在可行域内

通过把内罚函数和外罚函数结合

可以得到内外罚函数

从而打破x只能落在可行域的条件