量子化学与量子力学达人请进！

你这问题好早以前就看到了，只是嫌麻烦不想回答，貌似没人能搞定嘛……

这是氢原子轨道的解，我实在不想把它完整打出来。。。

你随便找一本物质结构方面的书或者是量子力学的教材也行，解氢原子的薛定谔方程，都会有，这个是非常基础的东西。

首先这是一个2p轨道的波函数，那个py的意思是其轨道的对称轴是y轴，

氢原子波函数可以分解成径向和角向的，径向函数的解Rnl，n是主量子数，l是角量子数，

其角向的解释球谐函数Ylm，l是角量子数，m是角动量z分量，

ψ211实际上就是R21乘以Y11，ψnlm就是主量子数为n，角量子数为l，角动量z分量为m的特征波函数。

径向方程的解本身是实函数，但是求解的球谐函数Ylm是有可能为复数的，

这里面Y11和Y1-1对应的球谐函数里面分别是-kexp（iΦ）以及kexp（-iΦ），你可以查数学的公式，前面的系数k=（√3／8π）sinθ，

显然-exp（iΦ）-exp（-iΦ）=-（sinΦ+iconΦ+sin（-Φ）+icos（-Φ））=-（2icosΦ）=-2icosΦ

这显是一个复数解。

但是我们知道，对于一个波函数，我们要对其进行归一化，同时，我们知道对于一个波函数，其乘以一个常系数不影响其解的概率分布情况。

因此，并不是解的本身是一个复数，而是我们习惯上是希望得到一个实数解，这里乘以一个常系数是不影响其波函数，但是通过除以i可以将波函数化成一个实函数，这是我们想要的比较方便的解。

当然，也可以从另一个角度来理解这个问题，曾谨言的《量子力学》书上有这样一个证明，如果一个函数是薛定谔方程的解，那么这个函数的复共轭同样是薛定谔方程的同一个本征值下的解。因此，如果一个薛定谔方程的解有复数，那么利用上面的关系，对同一个本征值的本征解及其复共轭求差，得到的仍然是该本征值的解，只是这个解是特征解的线性组合。这里py波函数就是p轨道特征解ψ211和ψ21-1的线性组合，由于其具有相同的本征值，所以这也是p轨道的一个解。当然实际上这里ψ211之类是以z轴来考虑的，因此得到的本征解是用z分量的本征解的线性叠加来组成，如果你考虑pz，那么就是一个本征解就可以表述了。（px、py、pz本质上是一样的，只是由于定义了方向，因此各自具有取向，你可以看看三者在空间的分布情况，是一样的。）

啰啰嗦嗦扯了好多，不知道你能看懂多少，希望对你有帮助吧~

1S 是单电子原子（如H、D、T）或阳离子（如He+）的基态电子轨道，

如果体系被激发到高能的激发态，这个电子就可以进入2S、2P等轨道，此时1S轨道是空的。

电子轨道本身是不严谨的概念，确切的说应该是电子轨函或者电子波函数的基函数。

如果你刚学到普通化学，应该还是大一或者高中奥赛的水平，要理解清楚比较困难。

需要学习 球谐函数（球谐级数） 以及量子力学/量子化学的初步知识才能充分理解。

这里我简单的说说，但你看过可能还是如入五里云雾之中：

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电子本身所处的状态是量子叠加态，它可以被描述成不同量子本征态的线性叠加，

所谓本征态，对于单原子核无外场体系来说就是2S、2Px、2Py等等“轨道”或“基函数”。

确切的说是 球对称库仑力场体系（对称中心即原子核）的基函数组是球谐函数族，

参见所附中的网址，对照球谐函数表——

球谐函数径向参数l=0的时候，电子离中心最近，能量最低，此时有一个函数；

球谐函数径向参数l=1的时候，电子离中心稍远，能量稍高，此时有三个不同函数；

球谐函数径向参数l=2的时候，电子离中心更远，能量更高，此时有五个不同函数；

…… 事实上，原子物理里面的 l、m 就来自球谐函数族的数学记号 l、m

量子叠加态在被观测的时候就会坍缩到本征态（坍缩这个概念在量子力学中非常重要）：

如果叠加态本身就是100%的2S态，那么坍缩的时候就100%概率落入2S本征态；

如果是2Px、2Py、2Pz 各333…%线性叠加的，那么就有各1/3的概率坍缩到三个态。

用你现在能理解的话来打个比方：

空间直角坐标系中有一个点(1, 2, 3)，坍缩就是将这个点向某根坐标轴投影，

一次坍缩只能向某一根坐标轴投影，具体向哪一根轴投影是随机的，但随机的

概率分布取决于相应那个系数，比如上面的(1, 2, 3) “向x轴投影的概率”就应该是1/6

所以，电子在原子核周围的分布状态在未坍缩前本身就不是某个轨道电子云的“形状”，

更不用提多个电子每个电子都处于一个叠加态，还要把多个叠加态叠加的“形状”了。

而且量子力学会告诉你，多电子互相之间还会影响分布，这就进一步改变了“形状”。

至于 3Dzz 轨道电子云的形状为什么比较奇怪，打个比方就好比正交投影xyz坐标系，

x和z坐标轴（基）是1:1，看起来对称；但斜放的y坐标轴（基）长度缩短且倾斜放置，

直观的看似乎和x、z轴（基）有区别，但我们都知道这只不过是视角的问题。

spherical harmonics

球面低函数；

球谐函数；

球函数；

球面调和函数

These are called spherical harmonics

这些叫做球谐函数

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