随机变量的分布函数

1、对于任意实数x1,x2(x1＜x2),有 P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)>=0。首先明白分布函数的定义。单调不减是指可以等于0。

2、右连续是指函数在区间最右边的点上有定义。

3、请根据回答1中的分布函数定义自行解答。

二维连续型函数找上下限的方法：

1、根据函数图像即可确定。

2、先X还是先Y，其实都是一样的，复习一下二重积分。

3、当二维连续型随机变量的函数为线性函数时，均可采用分布函数法，借助图形，利用公式计算出结果但要根据函数曲线与所规定的线性区分。

分布函数是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

若已知X的分布函数，就可以知道X落在任一区间上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。随机变量X的分布函数F(x)表示随机变量X的取值小于x时的概率：P(X<x)。大X表示随机变量，小x表示随机变量X所取的具体数值。P表示概率。

随机变量X的分布函数就是一个函数F(x)=P(X≤x)，而随机变量函数的分布指的是，若X是随机变量，则Y=g(X)也是随机变量，Y的分布规律就是随机变量X的函数的分布，这个规律可以用分布函数表示，也可以用概率表或概率密度表示。

随机变量是由随机事件得到的变量，名为变量，实质上是一个函数，是从样本空间到实数上的一个单值函数，X(e):S→R。随机变量的引入大大简化了随机事件的刻画，对进一步研究随机事件的概率也起到了优化的作用。

概率论中重点考察的概率实际上是值域缩小到[0,1]区间的一个函数。自变量为随机事件，因变量为该随机事件发生的可能性的大小。对每一个随机事件（自变量），在对应法则下，能确定其发生的可能性大小——概率（因变量）。

引入随机变量之后，概率就为实数到实数上的一个对应关系，等价于高等数学里定义的函数概念。

统计学中,z分布指的是正态分布。

正态分布最早由A棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。CF高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。PS拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故正态分布又叫高斯分布。

统计学正态分布的特点

现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。

这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加。

根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根（GHagen）在一篇论文中正式提出了这个学说。

什么是随机变量？在随机试验中测定或观察的量就称为随机变量。随机变量可以是自变量，也可以是因变量，还可以是无关变量。随机变量（random variable）表示随机试验各种结果的实值单值函数。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等等，都是随机变量的实例。随机变量的分布随机变量的分布指的是随机变量的概率分布。要全面了解一个随机变量，不但要知道它取哪些值，而且要知道它取这些值的规律，即要掌握它的概率分布。随机变量的分布函数概率分布可以由分布函数刻画。若知道一个随机变量的分布函数，则它取任何值和它落入某个数值区间内的概率都可以求出。有些随机现象需要同时用多个随机变量来描述。例如 ，子d着点的位置需要两个坐标才能确定，它是一个二维随机变量。类似地，需要n个随机变量来描述的随机现象中，这n个随机变量组成n维随机向量。描述随机向量的取值规律 ，用联合分布函数。随机向量中每个随机变量的分布函数，称为边缘分布函数。若联合分布函数等于边缘分布函数的乘积 ，则称这些单个随机变量之间是相互独立的。随机变量分布函数的数学定义设X为一随机变量，则对任意实数x，{X≤x}是一个随机事件，称F(x)=P{X≤x}为随机变量x的分布函数。它的定义域是（-∞，+∞），值域是[0，1]，F(-∞)=0，F(+∞)=1

概率论知识点总结

　概率论需要学生们对于概率概念的熟悉，而知识点一般不算十分的难。下面概率论知识点总结是我想跟大家分享的，欢迎大家浏览。

概率论知识点总结

　第一章 概率论的基本概念

　1 随机试验

　确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。

　随机现象： 在个别实验中呈现不确定性，在大量实验中呈现统计规律性，这种现象称

　为随机现象。

　随机试验：为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。

　随机试验的特点：1)可以在相同条件下重复进行;

　2)每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能

　结果;

　3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现;

　2 样本空间、随机事件

　样本空间：我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。 样本点：构成样本空间的元素，即E中的每个结果，称为样本点。

　事件之间的基本关系：包含、相等、和事件(并)、积事件(交)、差事件(A-B：包含A

　不包含B)、互斥事件(交集是空集，并集不一定是全集)、对立

　事件(交集是空集，并集是全集，称为对立事件)。

　事件之间的运算律：交换律、结合律、分配率、摩根定理(通过韦恩图理解这些定理)

　3 频率与概率

　频数：事件A发生的次数

　频率：频数/总数

　概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这个值就是概率。 概率的特点：1)非负性。2)规范性。3)可列可加性。

　概率性质：1)P(空集)=0，2)有限可加性，3)加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)

　-P(AB)

　4 古典概型

　学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率(**问题，超几何分布，分配问题，

　插空问题，捆绑问题等等)

　5 条件概率

　定义：A事件发生条件下B发生的概率P(B|A)=P(AB)/P(A)

　乘法公式：P(AB)=P(B|A)P(A)

　全概率公式与贝叶斯公式

　6 独立性检验

　设 A、B是两事件，如果满足等式

　P(AB)=P(A)P(B)

　则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。

　第二章随机变量及其分布

　1 随机变量

　定义：设随机试验的样本空间为S={e} X=X(e)是定义在样本空间S上的单值函数，称

　X=X(e)为随机变量。

　2 离散型随机变量及其分布律

　三大离散型随机变量的'分布

　1)(0——1)分布。E(X)=p, D(X )=p(1-p)

　2)伯努利试验、二项分布 E(X)=np, D(X)=np(1-p)

　3) 泊松分布 P(X=k)= (^k)e^(- )/k! (k=0,1,2,……)

　E(X)=，D(X)=

　注意：当二项分布中n 很大时，可以近似看成泊松分布，即np=

　3 随机变量的分布函数

　定义：设X是一个随机变量，x是任意的实数，函数

　F(x)=P(X≤x),x属于R 称为X的分布函数

　分布函数的性质：

　1) F(x)是一个不减函数

　2) 0≤F(x)≤1

　离散型随机变量的分布函数的求法(由分布律求解分布函数)

　连续性随机变量的分布函数的求法(由分布函数的图像求解分布函数，由概率密度求

　解分布函数)

　4 连续性随机变量及其概率密度

　连续性随机变量的分布函数等于其概率密度函数在负无穷到x的变上限广义积分 相反密度函数等与对应区间上分布函数的导数

　密度函数的性质：1)f(x)≥0

　2) 密度函数在负无穷到正无穷上的广义积分等于1

　三大连续性随机变量的分布: 1)均与分布 E(X)=(a+b)/2 D (X)=[(b-a)^2]/12

　2)指数分布 E(X)=θ D(X)=θ^2

　3)正态分布一般式(标准正态分布)

　5 随机变量的函数的分布

　1)已知随机变量X的 分布函数求解Y=g(X)的分布函数

　2)已知随机变量X的 密度函数求解Y=g(X)的密度函数

　第三章 多维随机变量及其分布(主要讨论二维随机变量的分布)

　1二维随机变量

　定义 设(X，Y)是二维随机变量，对于任意实数x, y,二元函数

　F(x, Y)=P[(X≤x)交(Y≤y)] 称为二维随机变量(X，Y)的分布函数或称为随机变量联合分布函数

　离散型随机变量的分布函数和密度函数

　连续型随机变量的分布函数和密度函数

　重点掌握利用二重积分求解分布函数的方法

　2边缘分布

　离散型随机变量的边缘概率

　连续型随机变量的边缘概率密度

　3相互独立的随机变量

　如果X，Y相互独立，那么X，Y的联合概率密度等于各自边缘的乘积

　5 两个随机变量的分布函数的分布

　关键掌握利用卷积公式求解Z=X+Y的概率密度

　第四章随机变量的数字特征

　1数学期望

　离散型随机变量和连续型随机变量数学期望的求法

　六大分布的数学期望

　2方差

　连续性随机变量的方差

　D(X)=E(X^2)-[E (X )]^2

　方差的基本性质：

　1) 设C是常数，则D(C)=0

　2) 设X随机变量，C是常数，则有

　D(CX)=C^2D(X)

　3) 设X，Y是两个随机变量，则有

　D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))} 特别地，若X，Y不相关，则有D(X+Y)=D(X)+ D(Y) 切比雪夫不等式的简单应用

　3 协方差及相关系数

　协方差：Cov(X ,Y )= E{(X-E(X))(Y-E(Y))}

　相关系数：m=Cov(x,y)/√D(X) √D(Y)

　当相关系数等于0时,X,Y 不相关，Cov(X ,Y )等于0 不相关不一定独立，但独立一定不相关

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