冲激函数累加怎么算

冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大、作用时间极短暂且积分有限的一类理想化数学模型

。冲激函数可用于对连续信号进行线性表达，也可用于求解线性非时变系统的零状态响应。

对冲激函数求导可得到冲激偶函数，单位冲激偶是这样的一种函数：当 t从负值趋于0时，它是一个强度为无限大的正的冲激函数，当t从正值趋于0时，它是一个强度为无限大的负的冲激函数。

简介

冲激函数可用于信号处理，通过冲激函数来表示复杂的信号，可以简化对复杂信号的一些特性的研究。冲激函数及其延时冲激函数的线性组合

来表示或逼近，再利用系统的迭加原理，可以通过简单的信号如单位冲激函数

的频谱，以及频域特性来讨论比较复杂信号的频谱。从而减少计算复杂信号频谱的难度。

冲激函数的性质的计算,单位冲激函数求导

如上所述，各个矩形脉冲的时域波形如下图所示。

图1单一矩形脉冲信号

可以通过傅立叶变换求出其频谱函数

(1) ) ) )。

频谱函数的示意图(频域分布曲线)如下图所示。

图2单矩形脉冲的谱函数

一、特殊的单个矩形脉冲信号

如果数值取单一矩形脉冲信号的脉冲宽度

(2) ) ) )。

无论脉冲宽度如何变化，函数图像下方的面积总是为1，即

(3) ) )。

如下图所示。

图3特殊的单矩形脉冲

这个特殊的单一矩形脉冲信号的数学公式

(4) ) )。

因此，该傅立叶变换可以从式(1)中得到

(5) ) )。

这是最大振幅为1的采样函数，频域曲线如下图所示

图4特殊单矩形脉冲的光谱

二、单位冲激函数的定义

对于图3和式(4)所示的特殊的单一矩形脉冲，若将脉冲宽度设为0并取极限，则单一矩形脉冲成为t=0且持续时间无限小、宽度无限大、面积为1的特殊信号(或广义函数)。 科学界将此广义函数称为单位脉冲函数或xndls(dirac )函数。 表记为

(6) ) )。

单位脉冲函数的示意图如下图所示

图5单位脉冲函数示意图

单位脉冲函数是广义函数，其振幅为无穷大，图像只能用带箭头的射线表示。 但是，通常不是其振幅，而是只用括号表示脉冲强度(s )，即面积。 根据等式(3)和(6)，发现其面积(脉冲强度)为1，并且被称为“单位”脉冲函数。 单位脉冲函数的自变量不限于时间t，并且可以是任意物理量x。

实际上延迟的单位脉冲函数也很常用，公式如下。

(7) ) )。

其形象是

图6延迟的单位脉冲函数的示意图

三、单位冲激函数的性质

ndent:2em;">根据单位冲激函数的定义，它具有下列最基本的性质：

1、广义积分归一性：

（8）

2、筛分性质：单位冲激函数与任意函数乘积，等于只筛选出t=t0时刻f（t）的值作为冲激强度。

（9）

3、抽样性质：

（10）

更一般地，有

（11）

即通过与δ函数（或延时的δ函数）乘积的积分，把任意的连续函数f（t）抽样为t＝t0处的一个函数值。

4、微积分性质：δ函数的累计积分等于单位阶跃函数ε（t）。

（12）

反过来单位阶跃函数的微商等于单位冲激函数：

（13）

其中单位阶跃函数为

（14）

其图象为

图7 单位阶跃函数的图象

四、单位冲激函数的频谱

由单位冲激函数的定义和抽样性质，其频谱密度函数（傅里叶变换）为：

（15）

频谱如下图：

图8 单位冲激函数的频谱

实际上，由式（5）和图5可以看出，当特殊的单个矩形脉冲信号的持续时间τ趋于无穷小时，频谱图5中的零点趋于无穷远处，即

（16）

则很容易看出图5的频谱曲线就转化成图8的水平线。可见单位冲激函数的频带宽度为无穷大，科学界称这样的频谱密度为“均匀谱”或曰“白色谱”。

五、连续函数的冲激表示

引进冲激函数概念，为信号的时域分析和频域分析提供了极大的方便。比如任何一个连续函数f（t）都可以表示为无穷多个不同加权的冲激函数之和，即加权积分：

（17）

如果g(t)f(t)=g(0)f(t)，那么g(0)就是已和数了，是常数了。

事实上如果g(t)f(t)=g(0)f(t)，那么必然会确定两种情况，

一是g(t)为一个常数函数，即g(t)恒等于g(0)；

二是f(t)≡0

可见，无论哪种情况，都能导出g(t)f'(t)+g’(t)f(t)与g(0)f'(t)相等。

所需答案及步骤如下图所示：

阶跃函数其实是一种特殊的连续时间函数，是一个从0跳变到1的过程，属于奇异函数。在电路分析中，阶跃函数是研究动态电路阶跃响应的基础。利用阶跃函数可以进行信号处理、积分变换。在其他各个领域如自然生态、计算、工程等等均有不同程度的研究。

阶跃函数的性质

（1）可以方便的表示某些信号；

（2）用阶跃函数表示信号的作用区间；

（3）阶跃函数的拉氏变换为： 。

冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大、作用时间极短暂且积分有限的一类理想化数学模型。冲激函数可用于对连续信号进行线性表达，也可用于求解线性非时变系统的零状态响应。

冲激函数的导数性质如下：

其证明如下所示：

你想的是对的。

根据

(ε(t))

'

=

δ(t)，所以对原式按照链导法则求就可以了：(uv)

'

=

u

'

v

+

v

'

u

c(400/3

e^(-200t)

ε(t))

'

=

400c/3

e^(-200t)

(ε(t))

'

+

400c/3

(e^(-200t))

'

ε(t)

=

400c/3

e^(-200t)

δ(t)

-

400c/3

200

e^(-200t)

ε(t)

=

0333

δ(t)

-

6666

e^(-200t)

ε(t)

这是一个好问题。的确应该有一项冲击响应项，只是冲击项的系数为0,冲击项就没有了。

具体如下：s(t)由两部分组成，单位阶跃函数E(t)和阶跃响应的乘积，求对s(t)求导是先对旦恭测枷爻磺诧委超莲E(t)前面部分求导，然后再加前面不变而对E(t)求导。E(t)求导是冲击函数，只在t=0有值，但t=0时，系数e^(p2t)-e^(p1t)=0

冲激偶（一种函数）

英文名：impulse function

单位冲激偶是这样的一种函数：当t从负值趋于0时，它是一强度为无限大的正的冲激函数，当t从正值趋于0时，它是一强度为无限大的负的冲激函数。冲激偶函数是通过对冲激函数求导所得到的。