多元函数极值如何判断极大和极小值

1如果没有限制条件的话，以二元函数为例，第一步求出该函数的一阶偏导数都为零时的点，记为P0点，此时P0点是稳定点，然后验证Heesen矩阵的的正定性，若正定，在P0点取得极小值，若负定，在P0点取得极大值，若不定，不取得极值。

(具体还有判断公式)

2如果有限制条件，例如限制条件为ψ（x,y）=0，那么有两种方法：

1。升维：构造拉格朗日函数，利用拉格朗日乘数法作为必要条件求解，然后在验证是否取得极值。

2。降维：这种方法多种多样，比如利用参数化求解又或者例如u（x,y,z）=0，限制条件为ψ(x,y,z)=0那么就会得出一个关于z的表达式为：z（x，y）=0，将其带入u(x,y,z)中，这样的话，原函数就由3维降到了2维，就比较方便了。

根据德尔塔进行判断。

设：二元函数 f(x，y)的稳定点为：(x0，y0)，

即：∂f(x0，y0)/∂x = ∂f(x0，y0)/∂y = 0；

记：：A=∂²f(x0，y0)/∂x²

B=∂²f(x0，y0)/∂x∂y

C=∂²f(x0，y0)/∂y²

∆=AC-B²

如果：∆>0

(1) A<0，f(x0，y0) 为极大值；

(2) A>0，f(x0，y0) 为极小值；

如果：∆<0 不是极值；

如果：∆=0 需进一步判断。

举一例：f(x，y)=x²+y²，其稳定点为：(0，0)。A=2，B=0，C=2 ∆=4>0

f(0，0)=0 为最小值！

对于多元函数，同样存在极值点的概念。此外，也有鞍点的概念。

计算步骤

求极大极小值步骤

（1）求导数f'(x)；

（2）求方程f'(x)=0的根；

（3）检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

特别注意

f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

求极值点步骤

（1）求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；

（2）用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。

（3）上述所有点的集合即为极值点集合。

求f(x,y)=x³+2xy-y³+2的极值，解：令∂f/∂x=3x²+2y=0①再令∂f/∂y=2x-3y²=0②由②得x=(3/2)y²；代入①式得 (27/4)y^4+2y=y[(27/4)y³+2]=0，故得：y₁=0；y₂=-2/3；相应地，x₁=0；x₂=2/3；即有两个驻点：M(0，0)；N(-2/3，2/3)。

再求两驻点处的二阶导数：A=∂²f/∂x²=6x； B=∂²f/∂x∂y=2； C=∂²f/∂y²=-6y；M(0，0): A=0；B=2；C=0；B²-AC=4>0，故M不是极值点；N(-2/3，2/3): A=-4<0； B=2； C=-4； B²-AC=4-16=-12<0；故N是极大点。极大值f(x,y)=f(-2/3，2/3)=(-2/3)³+2(-2/3)(2/3)-(2/3)³+2=-16/27-8/9+2=14/27

扩展资料

人们常常说的函数y=f(x)，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量，称为一元函数。

但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，即因变量的值依赖于几个自变量。

例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。

-多元函数

这是拉格朗日数乘法

多元函数求极值必须对各个未知量求偏导并另偏导为0

导数,从几何图形上讲是该处切线斜率,如果是立体图形,要求极值,则必须各个方向的偏导都为0（这是后面的方向导数里讲到得）,如果此处不对Y求偏导=0,就不能保证Y方向上取到极致

拉格朗日数乘法,记住一点就行,对各未知量及所设参数求偏导并令它们等于0,从而找到目标函数与所设参数的表达式

答：多元函数和一元函数的极值求解方法是不一样的。f'x(x,y)=0和f'y(x,y)=0,仅仅是函数极值存在的必要条件，这一点和一元函数f'(x)=0是一样的；但是存在极值点的充分条件是不一样的；二元函数和一元函数都是看二阶导数；但是二元函数的充分条件要复杂一些。

在函数具有二阶连续的偏导数的条件下，设f''xx=A，f''xy=B。f''yy=C;

如果AC-B^2>0, 有极值存在，

AC-B^2<0, 没有极值；

AC-B^2=0，不确定，还需另做讨论。

因此，思路为求解可能存在的极值点。求驻点，求二阶偏导数，检验有无极值，如果只有一个极值点，一般说来就是最点。就不用考察边界了。

f'x=2xy(4-x-y)-x^2y=0, 令x,y≠0即8-3x-2y=0(1)

f'y=x^2(4-x-y)-x^2y=0, 即：4-x-2y=0(2)

(1)-(2),得：4-2x=0; 解得：x=2， 代入(2),得：y=1；

f''xx=2y(4-x-y)-2xy-2xy=2y(4-x-y)-4xy=21(4-2-1)-421=-6<0；

f''xy=2x(4-x-y)-2xy-x^2=22(4-2-1)-22-4=-6;

f''yy=-x^2-x^2=-2x^2=-8;

(-6)(-8)-(-6)^2=12>0； 为极值点，因为f''xx<0, 为极大值。

f(2,1)=2^21(4-2-1)=4, 为函数的最大值。