求多元函数极值，

一、多元函数的极值及最大值与最小值：

定义：设函数z=f(x,y)z=f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)D，P0(x0,y0)为DD的内点。若存在P0P0的某个邻域U(P0)⊂DU(P0)⊂D。

若对于该邻域内异与P0P0的任何点(x,y)(x,y)，都有：

f(x,y)<f(x0,y0)

f(x,y)<f(x0,y0)

则称函数f(x,y)f(x,y)在点(x0,y0)(x0,y0)有极大值f(x0,y0)f(x0,y0)，点(x0,y0)(x0,y0)称为函数f(x,y)f(x,y)的极大值点；

若对于该邻域内异与P0P0的任何点(x,y)(x,y)，都有：

f(x,y)>f(x0,y0)

f(x,y)>f(x0,y0)

则称函数f(x,y)f(x,y)在点(x0,y0)(x0,y0)有极小值f(x0,y0)f(x0,y0)，点(x0,y0)(x0,y0)称为函数f(x,y)f(x,y)的极小值点；

极大值与极小值统称为极值。使得函数取得极值的点称为极值点。

定理1(必要条件)：设函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x0,y0)(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)(x0,y0)处有极值，则有

多元函数的极值：

定理：（又称为极值的必要条件）

必要条件就是指后面的可以推出前面的，在这里就是一个函数的偏导数在一点处为0，则函数在该点出必有极值。

推广到三元：

极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

这里的极 大和极小只具有局部意义。因为函 数的一个极值只是它在某一点附近 的小范围内的极大值或极小值。函数在其整个定义域内可能有许多极 大值或极小值，而且某个极大值不 一定大于某个极小值。

各个分量的偏导数为0，这是一个必要条件。充分条件是这个多元函数的二阶偏导数的行列式为正定或负定的。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是半正定的则需要进一步判断三阶行列式。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是不定的，那么这时不是极值点。

以二元函数为例，设函数z=f(x,y)在点（x。,y。）的某邻域内有连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x。,y。）,fy(x。,y。）=0,令

fxx(x。,y。)=A,fxy=(x。,y。）=B,fyy=(x。,y。）=C

则f(x,y)在（x。,y。）处是否取得极值的条件是

（1）AC-BB>0时有极值

（2）AC-BB<0时没有极值

（3）AC-BB=0时可能有极值，也有可能没有极值如果是n元函数需要用行列式表示。估计你也没学行列式呢。

如果是条件极值，那么更复杂一些。

大一的时候数学分析讲的，网上不好找到教材，建议你看一下大学课本。

如果需要我可以发给你pdf。

由于函数变量比较多，所以初始值的取值可能对结果影响很大

甚至有时会不收敛

这里采取了随机数作为初始值，知道收敛位置的做法

的到一个极值，5218202

我试了一下，在比较大的范围内，极值都是收敛于这个值

但是在某些范围是不能够得到收敛的极值的

实际上你的这个函数是没有最值的，只是在某区域有个极值

fun=@(x)

-153954x(1)+01630x(2)+01133x(3)+01679x(1)^2-00002x(2)^2-00004x(3)^2-00004x(1)^3;

flag=0;

while

(flag~=1);

[x,fval,flag]

=

fminsearch(@(x)

-fun(x),1000rand(1,4));

end

disp(['当x1-x4的取值'

num2str(x)

'时']);

disp(['函数有极大值'

num2str(-fval)]);

结果：

当x1-x4的取值2220579

4074999

141625

1994355时

函数有极大值5218202