如何证明函数单调性

在X的区间上任意取两点，假设为X1和X2，且X1<X2

分别将X1和X2代入函数中，求f(X1)-f(x2)或f(X1)/f(x2)

如果f(x1)-f(x2)<0，则说明函数f(x)在区间内单调递增，反之则单调递减；

如果f(x1)/f(x2)<1，则说明函数f(x)在区间内单调递增，反之则单调递减。

多元函数这些性质之间的关系是：可微分是最强 的性质，即可微必然可以推出偏导数存在，必然可以推出连续。反之偏导数存在与连续之间是不能相互推出的（没有直接关系），即连续多元函数偏导数可以不存在；偏导数都存在多元函数也可以不连续。偏导数连续强于函数可微分，是可微分的充分不必要条件，相关例子可以在数学分析书籍中找到。

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函数的单调性（monotonicity）也可以叫做函数的增减性。

方法：

1、图象观察法

如上所述，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。因此，在某一区间内，一直上升的函数图象对应的函数在该区间单调递增；一直下降的函数图象对应的函数在该区间单调递减。

2、求导法

导数与函数单调性密切相关。它是研究函数的另一种方法，为其开辟了许多新途径。特别是对于具体函数，利用导数求解函数单调性，思路清晰，步骤明确，既快捷又易于掌握，利用导数求解函数单调性，要求熟练掌握基本求导公式。

如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加；反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

扩展资料

判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①任取x1，x2∈D，且x1＜x2;

②作差△y=f(x1)-f(x2);

③变形(通常是因式分解和配方);

④定号(即判断△y的正负);

⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。

即为：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 下结论。

-单调性

可导函数：（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若

[f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在,

则称f(x)在x0处可导。

（2）若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m))均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。严格单调：f（x）的在定义域内有任意两个数p，q且p

f(q)。满足这三条就是严格单调的可导函数。