潜在狄利克雷分配(LDA)

潜在狄利克雷分配(LDA)，作为基于贝叶斯学习的话题模型，是潜在语义分析、概率潜在语义分析的扩展，于2002年由Blei等提出。LDA在文本数据挖掘、图像处理、生物信息处理等领域被广泛使用。

LDA模型是文本集合的生成概率模型。假设每个文本由话题的一个多项式分布表示，每个话题由单词的一个多项式分布表示，特别假设文本的话题分布的先验分布是狄利克雷分布，话题的单词分布的先验分布也是狄利克雷分布。先验分布的导入使LDA能够更好地应对话题模型学习的过拟合现象。

LDA的文本集合的生成过程如下：首先随机生成一个文本话题分布，之后再该文本的每个位置，依据该文本的话题分布随机生成一个话题，然后在该位置依据该话题的单词分布随机生成一个单词，直至文本的最后一个位置，生成整个文本。重复以上的过程生成所有文本。

LDA模型是含隐变量的概率图模型。模型中，每个话题的单词分布，每个文本的话题分布，文本的每个位置的话题是隐变量；文本的每个文职的单词是观测变量。LDA模型的学习与推理无法直接求解，通常使用吉布斯抽样和变分EM算法。前者是蒙特卡洛法，后者是近似计算。

多项分布是一种多元离散随机变量的概率分布，是二项分布的扩展。

假设重复进行n次独立随机试验，每次试验可能出现的结果有k种，第i中结果出现的概率为 ，第i种结果出现的次数为 。如果用随机变量 ，表示试验所有可能结果的次数，其中 表示第i种结果出现的次数，那么随机变量 服从多项分布。

若元离散随机变量的概率密度为

其中 ,，则称随机变量X服从参数为(n,p)的多项分布，记作

当试验的次数n为1时，多项分布变成类别分布。类别分布表示试验可能出现的k种结果的概率。显然多先分布包含类别分布。

狄利克雷分布是一种多元随机变量的概率分布，是贝塔分布的扩展。在贝爷斯学习中，狄利克雷分布作为多项分布的先验概率使用。

多元连续型随机变量 的概率密度函数为

其中 ，称随机变量 服从参数为 的狄利克雷分布，记作

式中

具有以下性质

当s是自然数时，有

令

则狄利克雷分布的密度函数可以写成

是规范化因子，称为多元贝塔函数(称为扩展的贝塔函数)。由密度函数性质

得

狄利克雷有一些重要性质:(1)狄利克雷分布属于指数分布簇(2)狄利克雷分布是多项分布的共轭先验

贝叶斯学习中常使用共轭分布，如果后验分布与先验分布属于同类，则先验分布与后验分布称为共轭分布，先验分布称为共轭先验。如果多项分布的先验分布是狄利克雷分布，作为先验分布的狄利克雷分布的参数又称为超参数，使用共轭先验分布的好处是便于从先验分布计算后验分布。

将样本数据表示为D，目标是计算样本数据D给定条件下参数 的后验概率 ，对于给定样本数据D，似然函数是

假设随机变量 服从狄利克雷分布 其中 为参数，则 的先验分布为

根据贝爷斯规则，在给定样本数据D和参数a的条件下， 的后验概率分布是

狄利克雷的后验分布等于狄利克雷分布参数 加上多项分布的观测技术

潜在狄利克雷分配(LDA)是文本集合的生成概率模型。模型假设话题由单词的多项分布表示，文本由话题的多项分布表示，单词分布和话题分布的先验分布都是狄利克雷分布。文本内容的不同时由于话题分布不同。

LDA模型表示文本集合的自动生成过程：首先，基于单词分布的先验分布(狄利克雷分布)生成多个单词分布，即决定多个话题内容；之后基于话题分布的先验分布(狄利克雷分布)生成多个话题分布，针对每个话题，基于话题的单词分布生成单词，整体构成一个单词序列，即生成文本，重复这个过程生成所有文本。文本的单词序列是观测变量，文本的话题序列是隐变量，文本的话题分布和话题的单词分布也是隐变量。

可以认为LDA是PLSA的扩展，相同点都假设话题是单词的多项分布，文本是华话题的多项分布。不同点LDA使用狄利克雷分布作为先验，而PLSA不使用先验分布(或者说假设先验分布为均匀分布），两者对文本生成过程有不同假设；学习过程LDA基于贝叶斯学习，PLSA基于极大似然估计。LDA的优点是，使用先验概率分布，可以防止学习过程中产生过拟合。

使用三个集合：一是单词集合 ，其中 是第v个单词， ，V是单词个数。二是文本集合 ,其中 ，其中 是文本 的第n个单词， ， 是文本 中单词个数。三是话题集合 ，其中， 是第k个话题， ，K是话题的个数。

每一个话题 是由一个单词的条件概率分布 决定的， 。分布 服从多项分布(严格意义上类别分布),其参数为 。参数 是V维向量 服从狄利克雷分布(先验分布),其超参数为 。参数 ，其中 表示 生成单词 的概率。所有话题的参数向量构成 矩阵， ，超参数 也是V维向量

每一个文本 由一个话题的条件概率分布 决定, ,分布 服从多项分布(严格意义上的类别分布)，其参数为 ，参数 服从狄利克雷分布(先验分布)，其超参数为a。参数 是K维向量 ，其中 ，其中 表示文本 生成话题 的概率。所有文本构成参数构成一个MK矩阵 ，超参数a也是一个K维向量

每一个文本 中的每一个单词 由该文本的话题分布 以及所有话题的单词分布 决定

LDA本质上是一个概率图模型，图为LDA作为概率图模型的板块表示，图中结点表示随机变量，实心结点是观测变量，空心结点是隐变量；有向边表示概率依存关系；矩形(板块)内数字表示重复的次数。

结点 表示模型的超参数，结点 表示话题的单词分布的参数，结点 表示文本的话题分布的参数，结点 表示话题，结点 表示单词。结点 指向结点 ，重复K次，表示根据超参数 生成K个话题的单词分布参数 ；结点a指向结点 ，重复M次，表示根据超参数a生成M个文本的话题分布参数 ；结点 指向 ，重复N词，表示根据文本的话题分布 生成 个话题 ；结点 指向结点 ，同时K个结点 也指向结点 ，表示根据话题 以及K个话题的单词 生成单词 。LDA是相同的随机参数被重复多次使用的概率图模型。

潜在狄利克雷分配(LDA)的学习(参数估计）是一个复杂的最优化问题，很难精确求解。常用近似求解的方法有吉布斯抽样和变分推理

吉布斯抽样的优点是实现简单，缺点是迭代次数可能较多。

LDA模型的学习，给定文本(单词序列)的集合 ，其中 是第m个文本集合的单词序列，即 ，超参数 已知。目标是要推断

吉布斯抽样，是一种常用的马尔科夫链蒙特卡罗法。为了估计多元随机变量x的联合概率分布p(x)，吉布斯抽样法选择x的一个分量，固定其他分量，按照其条件概率分布进行随机抽样，一次循环对每一个分量执行这个 *** 作，得到联合分布p(x)的一个随机样本，重复这个过程，在燃烧期后，得到联合概率分布p(x)的样本集合。

LDA模型采通常采取收缩的吉布斯抽样方法，基本想法是，通过对隐变量 积分，得到边缘概率分布 （也是联合分布),其中w是可观测变量，z是不可观测的。对后验概率分布 进行吉布斯抽样，得到分布 的样本集合；再利用这个样本集合对参数 和 进行估计，最终得到模型 所有的参数估计。

这里变量 是已知的，分母相同，可以不预考虑。联合概率分布 的表达式可以进一步分解为

两个因子可以分别处理

推导第一个因子 的表达式

其中 是k个话题生成单词集合第v个单词的概率， 是数据中第k个话题生成第v个单词的次数。

其中

第二个因子 的表达式也可以类似推导。首先

其中 是第m个文本生成第k个话题的概率， 是数据根据第m个文本生成的第k个话题，于是

式中 ，可得

通过吉布斯抽样得到的分布 的样本，可以得到变量z的分配值，也可以估计变量 。

变分推理是贝叶斯学中常用的，含隐变量模型的学习和推理方法。变分推理和马尔科夫蒙特卡洛(MCMC)属于不同的技巧。MCMC通过随机抽样的方法近似统计模型的后验概率，变分推理则通过解析的方法计算模型的后验概率。

变分推理的基本想法如下，假设模型是联合桂林分布 ，其中x是观测变量，z是隐变量，包括参数。目标是学习模型的后验概率分布p(z|x),用模型进行概率推理。但这是一个复杂的分布，直接估计分布的参数很困难，所以考虑使用概率分布q(z)近似条件桂林分布p(z|x),用KL散度D(q(z))||p(z|x))计算两者的相似度，q(z)称为变分分布。如果能找到与p(z|x)在KL散度意义下的近似分布 ，则可以用这个分布近似p(z|x)

KL散度可以写成以下形式

将变分EM算法应用到LDA模型的学习上，首先定义具体的变分分布，推导证据下界的表达式，接着推导变分分布的参数和LDA模型的参数的估计形式，最后给出LDA模型的变分EM算法

文本的单词序列 ，对应的话题序列 ，以及话题分布 ，和随机变量 的联合概率分布是

定义基于平均场的变分分布

其中 是可观测变量， 是隐变量， 是参数

定义基于平均场的变分分布

其中 是狄利克雷分布参数， 是多项分布参数，变量 的各个分量都是条件独立的，目标是求KL散度意义下最相近的变分分布 以及近似LDA模型的后验概率分布

由此可得到一个文本的证据下界

所有文本的证据下界为

为了求证据下界 的最大化，首先写出证据下界的表达式。为此展开证据下界表达式

根据变分参数 ，模型参数 继续展开，并将展开式的每一项写成一行

式 是对数伽马函数，即

第一项推导，求 ,是关于分布 的数学期望

其中

所以

故得

式中 分别表示第k个话题的狄利克雷分布参数

第二项推导，求 是关于分布 的数学期望

式中 表示文档第n个位置的单词由第k个话题产生的概率， 表示第k个话题的狄利克雷分布参数。

第三项推导，求 是关于分布 的数学期望

式中 表示文档第n个位置的单词由第k个话题产生的概率， 表示在第n个位置的单词是单词集合的第v个单词时取1，否则取0， 表示第k个话题生成单词集合第v个单词的概率

第四项推导，求

我认为学习数学要做到听'练结合,上课一定要认真听讲,保持对知识的清楚,还要对例题的明白;其次就要练,学习书学是学习它的方法,所以要多练,只有多练才可能对方法的熟悉所以我认为学习数学就要到"听"和"练"

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这个写的挺不错

新课程高一数学必修一学习口诀

集合的概念与运算：

集合元素有三性，确定无序还互异。表示方法有三种，列举描述韦恩图。代表元素要认准，从属包含要分清。子集别把空集忘，2的n次是总数。交集两个都要有，并集沾边就能行，补集全把本身抛，图形运算更直观。反演律、很重要，运算性质常回忆。

函数的概念：

函数如同子与母，每人只有一个娘。三个要素离不了，函数关系要理清。定义域、是灵魂，研究函数莫忘了。对应关系解析式，求法花样还不少。观察配凑或换元，基本方法常常用。假如知道啥类型，待定系数求最好。对称周期用代入，抽象函数用赋值。函数值域是傀儡，常用单调来解决。复合函数虽不讲，却是处处少不了。其中性质慢慢品，熟练应用有奥妙。

函数的性质：

单调性、区间上，任意变量都满足。作差变形定符号，简单明了才最好。奇减则减偶减增，内外函数要看清。比大小，化同间，实在不行找中介。奇偶性，看对称，定义千万不要丢。否定一个全盘翻，奇偶判定要耐心。解析式、代入求，构造函数来求值。对称区间单调性，奇同偶反方便用。

基本初等函数：

一二三、反指对，基本函数就几类。定义域、单调性，函数性质需记清。指数都过零一点，对数则是过一零，幂函数，花样多，但是全都过一一。大增小减很相似，区间不同值相异。常数大小要比较，画条直线看交点。a在前y在后，中间夹着爱可丝。指数药灵药，对数药药灵，幂函数是零要咬。同大同小一定大，一大一小则变小。分段组合加复合，函数花样变化多。化归思想很重要，难化简来生变熟。

函数方程与应用：

零点就是方程根，联系函数画图像。等号两边俩函数，同一坐标各画图。画出图像看交点，几个交点几个根。区间两端若异号，中间有根跑不了。近似根，二分法，事半功倍真奇妙。函数模型没几种，审清题意认真算。

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

1元素的确定性； 2元素的互异性； 3元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

2．集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 aA

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}

4、集合的分类：

1．有限集 含有有限个元素的集合

2．无限集 含有无限个元素的集合

3．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1“包含”关系—子集

注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

① 任何一个集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)

③如果 AB, BC ,那么 AC

④ 如果AB 同时 BA 那么A=B

3 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．

记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,

A∪φ= A ,A∪B = B∪A

4、全集与补集

（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即 ），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

记作： CSA 即 CSA ={x  xS且 xA}

（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

（3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

定义域补充

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1 (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义

(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 (2)应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

3 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．

C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }

图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

(2) 画法

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来

B、图象变换法（请参考必修4三角函数）

常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

(3)作用：

1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。

发现解题中的错误。

4．快去了解区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

5．什么叫做映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”

给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点：

○1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○2 解析法：必须注明函数的定义域；○3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；○4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

补充一：分段函数 （参见课本P24-25）

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

补充二：复合函数

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。

例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)

7．函数单调性

（1）．增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间 （睇清楚课本单调区间的概念）

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数区间D称为y=f(x)的单调减区间

注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

○2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 。

（2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的

(3)函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

○1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2 作差f(x1)－f(x2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）；○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)_

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：

函数 单调性

u=g(x) 增 增 减 减

y=f(u) 增 减 增 减

y=f[g(x)] 增 减 减 增

注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？

8．函数的奇偶性

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2 确定f(－x)与f(x)的关系；○3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=眆(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)眆(x)=0或f(x)/f(-x)=来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定

9、函数的解析表达式

（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域

（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2 利用图象求函数的最大（小）值○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根（n th root），其中 >1，且 ∈ ．

当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数．此时， 的 次方根用符号 表示．式子 叫做根式（radical），这里 叫做根指数（radical exponent）， 叫做被开方数（radicand）．

当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号－ 表示．正的 次方根与负的 次方根可以合并成（ >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作 。

注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

，

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

3．实数指数幂的运算性质

（1） • ；

（2） ；

（3） ．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>1 0<a<1

图象特征 函数性质

向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R

图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数

函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+

函数图象都过定点（0，1）

自左向右看，

图象逐渐上升 自左向右看，

图象逐渐下降 增函数 减函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1

图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；

（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；

（3）对于指数函数 ，总有 ；

（4）当 时，若 ，则 ；

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ — 底数， — 真数， — 对数式）

说明：○1 注意底数的限制 ，且 ；

○2 ；

○3 注意对数的书写格式．

两个重要对数：

○1 常用对数：以10为底的对数 ；

○2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 ．

对数式与指数式的互化

（二）对数的运算性质

如果 ，且 ， ， ，那么：

○1 • ＋ ；

○2 － ；

○3 ．

注意：换底公式

（ ，且 ； ，且 ； ）．

利用换底公式推导下面的结论（1） ；（2） ．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

○2 对数函数对底数的限制： ，且 ．

2、对数函数的性质：

a>1 0<a<1

图象特征 函数性质

函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞）

图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数

向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R

函数图象都过定点（1，0）

自左向右看，

图象逐渐上升 自左向右看，

图象逐渐下降 增函数 减函数

第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0

第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；

（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴．

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。

2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即：

方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．

3、函数零点的求法：

求函数 的零点：

○1 （代数法）求方程 的实数根；

○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数 ．

1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．

http://www360doccom/content/10/0712/22/1144933_38587158shtml

一次函数y=kx+b中的k和b的意思分别是k表示斜率,b表示截距，具体的意义如下：

k不等于0时是一次函数

k,b与函数图像所在象限的关系：

y=kx时（即b等于0,y与x成正比)

当k＞0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大；

当k＜0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。

y=kx+b时：

当

k>0,b>0,这时此函数的图象经过一,二,三象限。

一次函数y=kx+b，（k、b是常数且k≠0）。

中的x的系数k被称为一次函数的斜率。斜率k的几何意义是：一次函数所对应的直线倾斜角的正切值。即，k=tanα（其中，α为直线的倾斜角）。

一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中的常数项b被称为一次函数在y轴上的截距，通常简称为截距。根据截距的几何意义可知，“截距”不是“距离”，它可正、可负、可为0。

一次函数的函数图像都是直线，根据“两点确定一条直线”的公理，我们只需要在一次函数上选取不同的两点，然后画一条过这两点的直线即得到该一次函数的图像。

为了更好地体现所画一次函数图像的关键细节，考试作图题中选取的这两点多为直线与x、y轴的交点，即(0,b)和(-b/k,0)。