Γ(x)称为伽马函数,他的一个性质Γ(12)=√π怎么证明啊?

Γ（1/2)=int(e^x/sqrt(x),x=0+无穷）

(就是x^(1/2-1)e^x从0到正无穷的积分)

换元积分,令sqrt(x)=t,则

e^x/sqrt(x)=e^(t^2)/t

x=t^2,dx=2tdt

由x的范围可知t的范围也是0到正无穷

所以

Γ(1/2)=int(e^(t^2)2t/t,t=0+无穷)

=int(2e^(t^2),t=0+无穷）

而e^(t^2)从0到正无穷的积分是sqrt(Pi)/2,（根据正态分布的密度函数）

（或者利用极坐标的二重积分计算该积分的平方,）

所以Γ(1/2)=sqrt(Pi)

伽马函数存在四种性质：

1、通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质：T（x+1)=xT(x)

于是很容易证明，伽马函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，对于正整数n，具有如下性质：

T(n)=(n-1)!

2、与贝塔函数的关系：B(m,n)=T(m)T(N)∕T(m+n)

3、在概率的研究中有一个重要的分布叫作伽玛分布：F(X)=X∗(a-1)⋋,其中:X>0

4、对X∈(0,1)，有T(1-X)T(X)=Π∕sinΠx

这个公式称为余元公式。

伽玛函数为Γ(α)=∫x^(α-1)e^(-x)dx。

利用伽玛函数求e^(-x^2)的积分，则令x^2=y，dx=(1/2)y^(-1/2)dy

有∫(e^(-x^2)dx=(1/2)∫y^(-1/2)e^(-y)dy。

∫y^(-1/2)e^(-y)dy是α=1/2时，伽玛函数Γ(α)的表达式。

∴∫(e^(-x^2)dx=(1/2)Γ(1/2)。

极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。

为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域。

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论，如果两个可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

证明：

Γ(a)=∫(0,∞)[x^ae^-x]dx

我们令x=ty(t>0)

有：Γ(a)/(t^a)=∫(0,∞)[y^(a-1)e^(-ty)]dy

于是：x^k=[1/Γ(-k)]∫(0,∞)[z^(-k-1)e^(-zx)]dz

有根据余元公式Γ(p)Γ(1-p)=π/sinpπ

则x^k=(Γ(k+1)sin-kπ)/π(∫(0,∞)[z^(-k-1)e^(-zx)]dz)

因而∫(0,∞)[(x^k)sinx]dx

=(Γ(k+1)sin-kπ)/π∫(0,∞)sinxdx∫(0,∞)[z^(-k-1)e^(-zx)]dz

由一致收敛性，交换积分顺序得：

∫(0,∞)[(x^k)sinx]dx

=(Γ(k+1)sin-kπ)/π∫(0,∞)z^(-k-1)dz∫(0,∞)[sinxe^(-zx)]dx

容易计算∫(0,∞)[sinxe^(-zx)]dx=1/(1+z^2)

(只要用两次分部积分就行，会发现相同形式的)

从而∫(0,∞)[(x^k)sinx]dx

=(Γ(k+1)sin-kπ)/π∫(0,∞)[z^(-k-1)/(1+z^2)]dz

在此我们再令z^2=t,则dz=(1/2)z^(-1/2)dz

∫(0,∞)[(x^k)sinx]dx

=(Γ(k+1)sin-kπ)/(2π)∫(0,∞)[z^(-k/2-1)/(1+k)]dz

考虑到β函数的另外一种变形

即B(a,b)=∫(0,∞)[y^(a-1)/(1+y)^(a+b)]

此时a=-k/2,b=1+k/2,a+b=1,又可以用余元公式了

记B(-k/2,1+k/2)=π/sin(-kπ/2)

故∫(0,∞)[(x^k)sinx]dx

=(Γ(k+1)sin-kπ)/(2π)B(-k/2,1+k/2)

=(Γ(k+1)sin-kπ)/(2π)π/sin(-kπ/2)

=Γ(k+1)cos(-kπ/2) （二倍角公式）

=Γ(k+1)cos(kπ/2)

证毕

般的求伽马函数的导数做法为

先求伽马函数的对数,然后对伽马函数的对数求导数,得到

(\gamma(x))^{\prime}

--------------------

(\gamma(x))

=c-\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{x+k}-\frac{1}{k+1})