反三角函数的性质

反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ，反正割，反余割为x的角。

反正弦、反余弦函数定义域均为［-1,1]，反正切、反余切函数定义域均为（－∞，∞）。反正弦函数值域为［-π／2，π／2]，反余弦函数值域为［0，π］，反正切函数值域为（－π／2，π／2），反正切函数值域为（0，π）。这四个函数都不是周期函数。

三角函数图像及性质

三角函数是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数，初中阶段常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。三角函数的图像是在坐标轴上无限延伸而有规律循环的图像，并且都是对称的。

正弦函数（y=sinx）的图像对称轴为：x=kπ＋π／2（k∈Z），对称中心为：（kπ，0）（k∈Z）

余弦函数（y=cosx）的图像对称轴为：x=kπ（k∈Z），对称中心为：（kπ＋π／2，0）（k∈Z）

正切函数（y=tanx）的图像无对称轴，对称中心为：kπ／2+π／2,0）（k∈Z）

反三角函数是一种基本初等函数。这篇文章给大家分享反三角函数的计算公式，一起看一下具体内容。

反正弦三角函数计算公式

（1）arcsinx+arcsiny

arcsinx+arcsiny=arcsin（x√（1-y 2 ）+y√（1-x 2 ））,xy≤0或x 2+ y 2 ≤1。

arcsinx+arcsiny=π-arcsin（x√（1-y 2 ）+y√（1-x 2 ））,x＞0且y＞0且x 2+ y 2 ＞1。

arcsinx+arcsiny=-π-arcsin（x√（1-y 2 ）+y√（1-x 2 ））,x＜0且y＜0且x 2+ y 2 ＞1。

（2）arcsinx-arcsiny

arcsinx-arcsiny=arcsin（x√（1-y 2 ）-y√（1-x 2 ））,xy≤0或x 2+ y 2 ≤1。

arcsinx-arcsiny=π-arcsin（x√（1-y 2 ）-y√（1-x 2 ））,x＞0且y＜0且x 2+ y 2 ＞1。

arcsinx-arcsiny=-π-arcsin（x√（1-y 2 ）+y√（1-x 2 ））,x＜0且y＞0且x 2+ y 2 ＞1。

反余弦三角函数计算公式

（3）arccos x +arccos y

arccos x +arccos y = arccos（xy-√（1-x 2 ）√（1-y 2 ））,x+y≥0。

arccos x +arccos y =2π- arccos（xy-√（1-x 2 ）√（1-y 2 ））,x+y＜0。

（4）arccos x -arccos y

arccos x -arccos y =- arccos（xy+√（1-x 2 ）√（1-y 2 ）），x≥y。

arccos x -arccos y = arccos（xy+√（1-x 2 ）√（1-y 2 ）），x＜y。

反正切三角函数计算公式

（5）arctanx+arctany

arctanx+arctany=arctan（x+y）/（1-xy）,xy＜1。

arctanx+arctany=π+arctan（x+y）/（1-xy），x＞0，xy＞1。

arctanx+arctany=-π+arctan（x+y）/（1-xy），x＜0，xy＞1。

（6）arctanx-arctany

arctanx-arctany=arctan（x-y）/（1-xy），xy＞-1。

arctanx-arctany=π+arctan（x-y）/（1-xy），x＞0，xy＜-1。

arctanx-arctany=-π+arctan（x-y）/（1-xy），x＜0，xy＜-1。

反余切三角函数计算公式

（7）arccotx+arccoty

arccotx+arccoty=arccot（xy-1）/(x+y)，x＞-y。

arccotx+arccoty=arccot[（xy-1）/(x+y)]+π，x＜-y。

y=tanx，x=arctany。

tanx是正切函数，其定义域是{x|x≠(π/2)+kπ，k∈Z}，值域是R。arctanx是反正切函数，其定义域是R，反正切函数的值域为（-π/2，π/2）。

正切函数y=tanx在开区间（x∈(-π/2，π/2)）的反函数，记作y=arctanx或y=tan-1x，叫作反正切函数。它表示(-π/2，π/2)上正切值等于x的那个唯一确定的角，即tan(arctanx)=x，反正切函数的定义域为R，即(-∞，+∞)。反正切函数是反三角函数的一种。

arctanx和tanx两者的区别：

1、两者的周期性不同

（1）tanx为周期函数，最小正周期为π。

（2）arctanx不是周期函数。

2、两者的单调区间不同

（1）tanx有单调区间(-π/2+kπ，+π/2+kπ)，k为整数，且在该区间为单调增函数。

（2）arctanx为单调增函数，单调区间为（－∞，﹢∞）。

三角函数相应的映射是单值映射，对于定义域内每一个值（角），有惟一的值与它对应。反过来，对于三角函数每一个函数值却有无穷多个自变量的值（角）与它对应。就是说，确定三角函数的映射不是一一映射。因此必须限定角的取值范围来构成一一映射。当构成一一映射后，就可以把三角函数的反函数定义为反三角函数了。

反正弦函数：y=sin x在［-π/2,π/2］上的反函数，叫做反正弦函数，记为x=arc sin y;

反余弦函数：y=cosx在［0,π］上的反函数，叫做反余弦函数，记为x=arc cos y;

反正切函数：y=tgx在［-π/2,π/2］上的反函数，叫做反正切函数，记为x=arc tg y;

反余切函数：y=ctgx在［0,π］上的反函数，叫做反余切函数，记为x=arc ctg y用同样的道理可以定义反正割函数和反余割函数。反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数和反余割函数都称为反三角函数。