数值分析读书笔记（1）导论

一般来说，解决实际问题的第一步是将实际问题转换为数学问题，接着建立数学模型来解决这个数学问题，而理论解或者解析解通常难以求得，于是数值计算的方法应运而生

首先我们要将一个数学问题转化成数值问题

按照建立数值问题的基本形式，数学问题可以分为两大类

这一本书面向数值计算的三大类计算任务

由于是导论，故不深入探讨，这里列出几种思想

数值计算的几种方法

数值方法的评价标准

误差按来源可以这样分类

这里引入绝对误差，相对误差和有效数字的概念

首先是 绝对误差 =x-\tilde {x}$$) , 其中为x的近似值,我们可以得到 绝对误差界

 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} x-\tilde x \end{vmatrix} \le \Delta (x) =\Delta $)

然而绝对误差并不能很好的表现数的近似程度，引出 相对误差

 = \frac{e(x)}{x} =\frac{x-\tilde x}{x} $$)

自然也有 相对误差界

![]( http://wwwforkoshcom/mathtexcgi

$$\begin{vmatrix} \epsilon ^ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \epsilon ^ (x) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{e(x)}{x} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac{x-\tilde x}{x}\end{vmatrix} \le \delta (x)=\delta $$)

注意到分母为x,而实际当中我们经常用来代替分母，即![]( http://wwwforkoshcom/mathtexcgi

$$\begin{vmatrix}\epsilon\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \epsilon (x) \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \frac{e(x)}{\tilde x} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \frac{x-\tilde x}{\tilde x} \end{vmatrix} \le \delta(x)=\delta $$)

接下来给出有效数字的定义

如果近似值的误差界是某一位的半个单位，且该位到近似值的第一位有n个非零数，那么该近似值就有n位有效数字

可进一步探寻近似值和相对误差之间的某种联系,记


通过简单的放缩可得

 \times 10^{m-1}$$)

那么当近似值的有效数字为n时，相对误差的上界为

 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \frac{e(x)}{\tilde x} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \frac{x-\tilde x}{\tilde x} \end{vmatrix} \le \frac{05 \times 10^{m-n}}{a_1 \times 10^{m-1} }=\frac{1}{2a_1}\times 10^{1-n}$$)

由此可以引申出一个定理

如果x的有效数字位数为n，则有 

反之，如果}\times 10^{1-n}),则有效数字位数至少有n

讨论一下函数的误差

其中绝对误差为

进一步推广至多元函数

利用Tayor展开可知其中绝对误差为

给出绝对误差界

即多元函数的相对误差界放大系数

接下来介绍减少误差的计算法则

关于数值稳定的定义

关于病态问题的定义

一个算法的复杂度有两种，分别为

数学上用时间复杂度为问题规模的 多项式函数 或者 指数函数 来作为区分算法好与坏的分水岭，如果时间复杂度为问题规模的多项式函数那么这个算法是好的，而如果是指数函数则被称为不好的算法

我们利用算法复杂度来度量那些使用直接法的算法，对于迭代的算法我们使用 收敛率 来评价

由于这里没有对向量，矩阵等给出其大小的“测度”，故先讨论下迭代法产生的实数的序列

收敛率的高低使用 收敛阶 的大小衡量

Def:如果上述实数序列收敛于x，即，假定存在某个正数,使得极限

![]( http://wwwforkoshcom/mathtexcgi$$

\lim_{k\to \infty}\frac{e_{k+1}}{e_k^r}=\lim_{k\to \infty}\frac{\begin{vmatrix} x_{k+1}-x\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_{k}-x\end{vmatrix}^r}=c_r>0$$)

存在，称该迭代法是r阶收敛

需要注意的是，若有


也称为超线性收敛

收敛阶如果比较小，则需要加速，这是数值计算的重要研究课题

边　差　长　乘　除　底　点　度　分　高　勾　股　行　和　弧

环　集　加　减　积　角　解　宽　棱　列　面　秒　幂　模　球

式　势　商　体　项　象　线　弦　腰　圆

十位　个位　几何　子集　大圆　小圆　元素　下标　下凸　下凹

百位　千位　万位　分子　分母 分数　中点　约分　加数　减数　数位

通分　除数　商数　奇数　偶数　质数（素数）　合数算式　 进率

因式　因数　单价　数量　约数　正数　负数　整数　分数　倒数

乘方　开方　底数　指数　平方　立方　数轴　原点　同号　异号

余数　除式　商式　余式　整式　系数　次数　速度　距离　时间

方程　等式　左边　右边　变号　相等　解集　分式　实数　根式

对数　真数　底数　首数　尾数　坐标　横轴　纵轴　函数　常显

变量　截距　正弦　余弦　正切　余切　正割　余割　坡度　坡比

频数　频率　集合　数集　点集　空集　原象　交集　并集　差集

映射　对角　数列　等式　基数　正角　负角　零角　弧度　密位

函数　端点　全集　补集　值域　周期　相位　初相　首项　通项

公比　公差　复数　虚数　实数　实部　虚部　实轴　虚轴　向量

辐角　排列　组合　概率　直线　公理　定义　概念　射线 线段

顶点　始边　终边　圆角　平角　锐角　钝角　直角　余角 补角

垂线　垂足　斜线　斜足　命题　定理　条件　题设　结论

证明　内角　外角　推论　斜边　曲线　弧线　周长　对边

矩形　菱形　邻边　梯形　面积　比例　合比　等比　分比　垂心

重心　内心　外心　旁心　射影　圆心　半径　直径　定点　定长

圆弧　优弧　劣弧　等圆　等弧　弓形　相离　相切　切点　切线

相交　割线　外离　外切　内切　内径　外径　中心　弧长　扇形

轨迹　误差　视图　交点　椭圆　焦点　焦距　长袖　短轴　准线

法线　移轴　转轴　斜率　夹角　曲线　参数　摆线　基圆　极轴

极角　平面　棱柱　底面　侧面　侧棱　楔体　球缺　棱锥　斜高

棱台　圆柱　圆锥圆台　母线　球面　球体　体积　环体　环面

球冠　极限　导数　微分　微商　驻点　拐点　积分　切面　面角

极值　有解　无解　单根　重根　同解　增根　失根　特解　通解

上限　下限　上界　下界　有界　无界　区间　区域　邻域　内点

边界　端点　收敛发散　曲率　全等　相似

被减数　被除数　假分数　真分数　带分数　质因数

小数点　多位数　百分数　单名数　复名数　统计表　统计图

比例尺　循环节　近似数　准确数　圆周率　百分位　十分位

千分位　万分位　自然数　正整数　负整数　有理数　无理数

相反数　绝对值　正分数　连分数　近似数　弦切角　曲率圆

负分数　有理数　正方向　负方向　正因数　负因数　正约数

运算律　交换律　结合律　分配律　最大数　最小数　逆运算

奇次幂　偶次幂　平方表　立方表　平方数　立方数　被除式

代数式　平方和　平方差　立方和　立方差　单项式　多项式

二项式　三项式　常数项　一次项　二次项　同类项　填空题

选择题　判断题　证明题　未知数　大于号　小于号　等号

恒等号　不等号　公分母　不等式　方程组　代入法　加减法

公因式　有理式　繁分式　换元法　平方根　立方式　根指数

小数点　公式法　判别式　零指数　对数式　幂指数 对数表

横坐标　纵坐标　自变量　因变量　函数值　解析法 解析式

列表法　图象法　指点法　截距式　正弦表　余弦表 正切表

余切表　平均数　有限集　描述法　列举法　图示法 真子集

欧拉图　非空集　逆映射　自反性　对称性　传递性 可数集

可数势　维恩图　反函数　幂函数　角度制　弧度制 密位制

定义城　函数值　开区间　闭区间　增函数　减函数 单调性

奇函数　偶函数　奇偶性　五点法　公因子　对逆性 比较法

综合法　分析法　最大值　最小值　递推式　归纳法 复平面

纯虚数　零向量　长方体　正方体　正方形　相交线 延长线

中垂线　对顶角　同位角　内错角　无限极　长方形 平行线

真命题　假命题　三角形　内角和　辅助线　直角边 全等形

对应边　对应角　原命题　逆命解　原定理　逆定理 对称点

对称轴　多边形　对角线　四边形　五边形　三角形 否命题

中位线　相似形　比例尺　内分点　外分点　平面图 同心圆

内切圆　外接圆　弦心距　圆心角　圆周角　弓形角 内对角

连心线　公切线　公共弦　中心角　圆周长　圆面积 反证法

主视图　俯视图　二视图　三视图　虚实线　左视图 离心率

双曲线　渐近线　抛物线　倾斜角　点斜式　斜截式 两点式

一般式　参变数　渐开线　旋轮线　极坐标　公垂线 斜线段

半平面　二面角　斜棱柱　直棱柱　正梭柱　直观图 正棱锥

上底面　下底面　多面体　旋转体　旋转面　旋转轴 拟柱体

圆柱面　圆锥面　多面角　变化率　左极限　右极限 隐函数

显函数　导函数　左导数　右导数　极大值　极小值 极大点

极小点　极值点　原函数　积分号　被积式　定积分 无穷小

无穷大

混合运算　乘法口诀　循环小数　无限小数　有限小数　简易方程

四舍五入　单位长度　加法法则　减法法则　乘法法则　除法法则

数量关系　升幂排列　降幂排列　分解因式　完全平方　完全立方

同解方程　连续整数　连续奇数　连续偶数　同题原理　最简方程

最简分式　字母系数　公式变形　公式方程　整式方程　二次方根

三次方根　被开方数　平方根表　立方根表　二次根式　几次方根

求根公式　韦达定理　高次方程　分式方程　有理方程　无理方程

微分方程 分数指数　同次根式　异次根式　最简根式　同类根式

换底公式　反对数表　坐标平面　坐标原点　比例系数　一次函数

二次函数　三角函数　正弦定理　余弦定理　样本方差　集合相交

等价集合　可数集合　对应法则　指数函数　对数函数　自然对数

指数方程　对数方程　单值对应　单调区间　单调函数　诱导公式

周期函数　周期交换　振幅变换　相位变换　正弦曲线　余弦曲线

正切曲线　余切曲线　倍角公式　半角公式　积化和差　和差化积

三角方程　线性方程　主对角线　副对角钱　零多项式　余数定理

因式定理　通项公式　有穷数列　无穷数列　等比数列　总和符号

特殊数列　不定方程　系数矩阵　增广炬阵　初等变换　虚数单位

共轭复数　共轭虚数　辐角主值　三角形式　代数形式　加法原理

乘法原理　几何图形　平面图形　等量代换　度量单位　角平分线

互为余角　互为补角　同旁内角　平行公理　性质定理　判定定理

斜三角形　对应顶点　尺规作图　基本作图　互逆命题　互逆定理

凸多边形　平行线段　逆否命题　对称中心　等腰梯形　等分线段

比例线段　勾股定理　黄金分割　比例外项　比例内项　比例中项

比例定理　相似系数　位似图形　位似中心　内公切线　外公切线

正多边形　扇形面积　互否命题　互逆命题　等价命题　尺寸注法

标准方程　平移公式　旋转公式　有向线段　定比分点　有向直线

经验公式　有心曲线　无心曲线　参数方程　普通方程　极坐标系

等速螺线　异面直线　直二面角　凸多面体　祖恒原理　体积单位

球面距离　凸多面角　直三角面　正多面体　欧拉定理　连续函数

复合函数　中间变量　瞬间速度　瞬时功率　二阶导数　近似计算

辅助函数　不定积分　被积函数　积分变量　积分常数　凑微分法

相对误差　绝对误差　带余除法　微分方程　初等变换　立体几何

平面几何　解析几何　初等函数　等差数列　常用对数

四舍五入法　纯循环小数　一次二项式　二次三项式　最大公约数

最小公倍数　代入消元法　加减消元法　平方差公式　立方差公式

立方和公式　提公因式法　分组分解法　十字相乘法　最简公分母

算数平方根　完全平方数　几次算数根　因式分解法　双二次方程

负整数指数　科学记数法　有序实数对　两点间距离　解析表达式

正比例函数　反比例函数　三角函数表　样本标准差　样本分布表

总体平均数　样本平均数　集合不相交　基本恒等式　最小正周期

两角和公式　两角差公式　反三角函数　反正弦函数　反余弦函数

反正切函数　反余切函数　第一象限角　第二象限角　第三象限角

第四象限角　线性方程组　二阶行列式　三阶行列式　四阶行列式

对角线法则　系数行列式　代数余子式　降阶展开法　绝对不等式

条件不等式　矛盾不等式　克莱姆法则　算术平均数　几何平均数

一元多项式　乘法单调性　加法单调性　最小正周期　零次多项式

待定系数法　辗转相除法　二项式定法　二项展开式　二项式系数

数学归纳法　同解不等式　垂直平分线　互为邻补角　等腰三角形

等边三角形　锐角三角形　钝角三角形　直角三角形　全等三角形

边角边公理　角边角公理　边边边定理　轴对称图形　第四比例项

外角平分线　相似多边形　内接四边形　相似三角形　内接三角形

内接多边形　内接五边形　外切三角形　外切多边形　共轭双曲线

斜二测画法　三垂线定理　平行六面体　直接积分法　换元积分法

第二积分法　分部积分法　混循环小数　第一积分法　同类二次根

偏微分方程

一元一次方程　一元二次方程　完全平方公式　最简二次根式

直接开平方法　半开半闭区间　万能置换公式　绝对值不等式

实系数多项式　复系数多项式　整系数多项式　不等边三角形

中心对称图形　基本初等函数　基本积分公式　分部积分公式

二元一次方程　三元一次方程

一元一次不等式　一元二次不等式　二元一次方程组

三元一次方程组　二元二次方程组　平面直角坐标系

等腰直角三角形　二元一次不等式　二元线性方程组

三元线性方程组　四元线性方程组　多项式恒等定律

一元一次不等式组　三元一次不定方程

三元齐次线性方程组

什么叫平均绝对误差？按我的理解可能是下面这么算（假设你要计算的是 a 和 b 间的误差）：

mean(abs(a-b))

均方根有函数可以直接算：

rms(a-b)

求绝对误差x的n次方原因是导数是函数的局部性质。（x^n）'=nx^n-1。（x^n）'=nx^n-1是一个公式。导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的。

1、首先在电脑中打开Excel表格，如下图excel，在里面填上100-600，如下图所示。

2、这里求的是一组数据的平均值偏差的平均值，要用到如下函数。

3、然后如下图所示选定的区域，箭头所指，

4、这时在键盘上按回车可以得到自己的结果，为150，如下图所示。

5、可以手动计算一下，简单计算公式，最后看下结果与公式的对比，如下图所示，就完成了。

绝对误差失真函数是常用失真函数，失真的大小，用一个量来表示，即失真函数。假如某一信源X，输出样值为ai，经过失真编码器，输出Y，样值为bj。对于每一对（ai，bj），指定一个非负函数d（ai，bj）为单个符号的失真度或失真函数。