设关系模式R（U，F）中，U={A，B，C，D，E}，F={AB→C，C→D，D→E}，R的一个分解ρ={ R1（A，B，C），R2（C，D），R3（D，E）}。试判断ρ具有无损连接性。
解：① 首先构造初始表，如图（a）所示。
A B C D E
R1(A，B，C) a1 a2 a3 b14 b15
R2(C，D) b21 b22 a3 a4 b25
R3(D，E) b31 b32 b33 a4 a5
（a）
A B C D E
R1(A，B，C) a1 a2 a3 a4 a5
R2(C，D) b21 b22 a3 a4 b25
R3(D，E) b31 b32 b33 a4 a5
（b）
图：分解的无损连接判断表
② 按下列次序反复检查函数依赖和修改M：
AB→C，属性A、B（第1、2列）中都没有相同的分量值，故M值不变；
C→D，属性C中有相同值，故应改变D属性中的M值，b14改为a4；
D→E，属性D中有相同值，b15、b25均改为a5。
结果如图（b）所示。
③ 此时第一行已为a1，a2，a3，a4，a5，所以ρ具有无损连接性。
说明：在上例步骤后，如果没有出现a1，a2，a3，a4，a5，并不能马上判断ρ不具有无损连接性。而应该进行第二次的函数依赖检查和修改M。直至M值不能改变，才能判断ρ是否具有无损连接性。
在关系数据库中有型和值两种类型结构。关系模式是型，关系是值，关系模式是对关系的描述。
描述一个关系需要从以下两个方面来定义：第一方面，关系实质上是一个二维表，表的每一行为一个元组，每一列为一个属性。一个元组就是该关系所涉及的属性集的笛卡儿积的一个元素。关系是元组的集合，因此关系模式必须指出这个元组集合的结构，即它由哪些属性构成，这些属性来自哪些域，以及属性与域之间的映象关系。
第二方面，一个关系通常是由赋予它的元组语义来确定的。元组语义实质上是一个n目谓词（n是属性集中属性的个数）。凡使该n目谓词为真的笛卡儿积中的元素（或者说凡符合元组语义的那部分元素）的全体就构成了该关系模式的关系。
1.3.1关系数据库基本概念关系数据中，关系模式涉及众多概念、术语，初学者对这方面不容易把握与理解，以下用通俗易懂的语言来对这些概念及术语作简单的介绍。
1.关系关系（Relation）是指数据库中实体的信息，也就是数据库中二维表的数据。一个关系就是一个数据库表的值，表中的内容是对应关系模式在某个时刻的值，称为一个关系。例如，关系A表示数据库有一张名字为A的数据表所记录的所有数据。关系数据库中每一个关系都具有以下六方面的性质：（（1)列是同质的。即每一列中的分量为同一类型的数据，来自同一个域。
（2）不同的列可出自同一个域，称其中的每列为一个属性，不同的属性要给予不同的属性名。
（3）列的顺序无所谓。即列的次序可以任意交换。
（4）任意两个元组不能完全相同。
（5）行的顺序无所谓。即行的次序可以任意交换。
（6）分量必须取原子值。即每一个分量都必须是不可分的数据库属性。
2.模式模式（Schema）是数据库中全体数据的逻辑结构和特征的描述，是所有用户的公共数据视图，也称逻辑模式。有以下几方面性质：（（1)一个数据库只有一个模式。
（2）模式是数据在逻辑级上的视图。
（3）以某一种数据模型为基础。
定义模式时不仅要定义数据的逻辑结构，包括数据项的构成、名字、类型、取值范围等，而且要定义与数据有关的安全性、完整性要求，定义这些数据之间的联系。
3.关系模式关系模式（RelationSchema）描述的是与关系相对应的二维表的表结构，即关系中包含哪些属性，属性来自哪些域，以及与域之间的映象关系。
关系模式与关系的区别：（（1)关系模式描述了关系数据结构和语义，是关系的型。而关系是一个数据集合，是关系模式的值，是关系模式的一个实例。
（2）关系实际上就是关系模式在某一时刻的状态或内容。关系模式是静态的、稳定的，而关系是动态的、随时间不断变化的，因为数据库 *** 作会不断地更新数据库中的数据。
4.元组元组（Tuple）是关系数据库中的基本概念，一个关系表中的每行就是一个元组。也就是说数据库表中的每条记录都是一个元组，表结构的每列就是一个属性，在二维表里，元组也称为记录。元组可表示一个关系或关系之间的联系。
一般情况下，一个关系数据表中的每条记录均有一个唯一的编号（记录号），这个编号也叫元组号。
5.码码（Key）是关系数据库系统中的基本概念。所谓码，就是能唯一标识实体的属性集，是整个属性集，而不是单个属性。在关系数据库中，码包括多种类型，如超码、候选码和主码。
（（1)超码（SuperKey）。超码是一个或多个属性的集合，这些属性可以在一个实体集中唯一地标识一个实体。如果K是一个超码，那么K的任意超集也是超码，也就是说如果K是超码，那么所有包含K的集合也是超码。例如，学生是一个实体，则学生的集合是一个实体集，而超码用来在学生的集合中区分不同的学生。假设学生（实体）具有多个属性：学号，身份z号，姓名，性别。因为通过学号可以找到唯一一个学生，所以{学号}是一个超码，同理{学号，身份z号}、{学号，身份z号，姓名}、{学号，身份z号，姓名，性别}、{身份z号}、{身份z号，姓名}、{身份z号，姓名，性别}也是超码。在这里，因为不同的学生可能拥有相同的姓名，所以姓名不可以区别一个学生，即{姓名}不是一个超码，{性别}、{姓名，性别}也不是。
（2）候选码（CandidateKey）。候选码是可以唯一标识一个元组的最少的属性集合。候选码是从超码中选出的，因此候选码也是一个或多个属性的集合。因为超码的范围太广，很多是无用的，所以候选码是最小超码，它们的任意真子集都不能成为超码。例如，如果K是超码，那么所有包含K的集合都不能是候选码；如果K，J都不是超码，那么K和J组成的集合{K，J}有可能是候选码。
虽然超码可以唯一标识一个实体，但是可能大多数超码中含有多余的属性，所以需要候选码。
例如学生表，学生（学号，姓名，年龄，性别，专业），其中的学号是可以唯一标识一个元组，所以学号可以作为候选码。既然学号都可以作候选码，那么学号和姓名这两个属性的组合就可以唯一区别一个元组。此时的学号可以成为码，学号和姓名的组合也可以成为码，但是学号和姓名的组合不能成为候选码，因为即使去掉姓名属性，剩下的学号属性也完全可以唯一地标识一个元组。也就是说，候选码中的所有属性都是必需的，缺少任何一个属性，都不能唯一标识一个元组。
（3）主码（PrimaryKey）。主码是从多个候选码中任意选出一个作为主键，这个被选中的候选码就称为主码。如果候选码只有一个，那么候选码就是主码。虽然说主码的选择是比较随意的，但在实际开发中还是需要一定的经验，不然开发出来的系统会出现问题。一般来说，主码都应该选择那些从不或者极少变化的属性。
例如，在一个职工实体中，职工（职工号，姓名，入职时间，部门，岗位，工资，职级，工龄，电话），职工号可以用来唯一确定实体中的一个元组，所以职工号是一个候选码。如果实体属性——姓名、入职时间、部门三者组合也能唯一地确定一个元组，则（姓名，入职时间，部门）也是一个候选码。在上述两个候选码中任选一个均可作为职工实体的主码，一般来说直接选择职工号作为实体的主码是最为简单方便的。
1.3.2关系模式的定义关系是数据库二维表中的数据记录，关系模式是数据库二维表的表结构，关系是动态的，关系模式是静态的。
关系模式可由六个元素来描述，分别是R、U、D、dom、I、F。其中，R为关系的名称；
U为组成该关系的属性名的集合；D为U集合中属性的域集合；dom为属性集U向域集D的映射；I为完整约束集合；F为属性间数据的依赖关系集合。
一个关系模式通常表示为R（U，D，dom，I，F），也可以忽略其他元素，直接简化为R（U）或R（A1，A2，A3，…，An），其中A1，A2，A3，…，An为属性名。
例如，在一个选课模块中，包含“学生”“课程”“选修”等关系实体。“学生”实体的属性有SNO（学号）、SNAME（姓名）、AGE（年龄）、SEX（性别）、SDEPT（系部），其中“学号”为主键；“课程”实体的属性有CNO（课程号）、CNAME（课程名称）、CDEPT（系部）、TNAME（教师），其中“课程号”为主键；“选修”实体的属性有GRADE（成绩）、SNO（学号）、CNO（课程号），其中“学号”和“课程号”为联合主键。学生和课程之间是多对多的关联关系，即一个学生可以同时选修多门课程，一门课程也可以同时被多个学生选修。这种多对多的关联关系可以通过“选修”关系实体作为中间桥接实体，变成两个一对多的实体关联关系，如图所示。
图学生选课实体
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从图的实体关系图中可以得到选课模块的实体关系模式集——学生关系、课程关系、选修关系，具体关系模式如下：学生关系模式Student（SNO，SNAME，AGE，SEX，SDEPT）；
课程关系模式Course（CNO，CNAME，CDEPT，TNAME）；
选修关系模式StudentCourse（SNO，CNO，GRADE）。
对以上定义的三个关系模式实例化，插入初始化数据后，可得到学生、课程、选修三个关系的实例，如图所示。图中矩形框圈住部分为选课模块中的关系模式（表结构）；椭圆框圈住部分为选课模块中的关系（数据）。整个选课模块的表环境由关系模式与关系两部分共同组成，缺一不可。关系模式的分解标准关系模式的规范化过程实际上就是关系模式的“分解”过程，即把逻辑上独立的信息放在独立的关系模式中。分解是解决数据冗余的主要方法，也是规范化的一条原则——关系模式有冗余问题就要分解。
数据库设计者在进行关系数据库设计时，应参照模式规范化理论，尽可能使数据库模式保持高的标准。一般尽量把关系数据库设计成巴斯−科德范式（BCNF）的模式集，如果设计成巴斯−科德范式（BCNF）模式集时达不到保持函数依赖的标准，那么只能降低要求，设计成第三范式（3NF）的模式集，以达到保持函数依赖和无损分解的基本要求。
学生、课程、选修三个关系的实例
66037830023
1.分解的定义一个关系模式可以分解成众多子关系模式，分解方式不同，得到的子关系模式也不同。
关系模式的分解是指把某一个关系模式按照某一种方式进行分解得到的所有子关系模式。
如关系模式R按照某一种方式分解，可以得到一个关系集ρ={R1，R2，…，Rn}。其中属性集U=U1∪U2∪…∪Un，并且不能存在Ui⊆Uj，1≤i，j≤n。
函数依赖关系集F=F1∪F2∪…∪Fn，其中F1，F2，…，Fn是F在U1，U2，…，Un上的投影。
2.分解的标准把低级的关系模式分解成高级的关系模式的方法不是唯一的，只要能够保证分解后的关系模式与原关系模式等价，就是一个完整、标准的分解方法。关系模式的标准分解方法应同时达到以下两方面的要求：（（1)分解具有无损连接性。
（2）分解要保持函数依赖性。
具有无损连接性的分解保证信息不会丢失，但无损连接不一定能解决插入异常、删除异常、修改复杂、数据冗余等问题，如要解决这些问题，则要考虑更高的关系数据范式理论原则。
数据库范式1NF 2NF 3NF BCNF(实例）设计范式（范式,数据库设计范式,数据库的设计范式）是符合某一种级别的关系模式的集合。构造数据库必须遵循一定的规则。在关系数据库中，这种规则就是范式。关系数据库中的关系必须满足一定的要求，即满足不同的范式。目前关系数据库有六种范式：第一范式（1NF）、第二范式（2NF）、第三范式（3NF）、第四范式（4NF）、第五范式（5NF）和第六范式（6NF）。满足最低要求的范式是第一范式（1NF）。在第一范式的基础上进一步满足更多要求的称为第二范式（2NF），其余范式以次类推。一般说来，数据库只需满足第三范式（3NF）就行了。下面我们举例介绍第一范式（1NF）、第二范式（2NF）和第三范式（3NF）。
在创建一个数据库的过程中，范化是将其转化为一些表的过程，这种方法可以使从数据库得到的结果更加明确。这样可能使数据库产生重复数据，从而导致创建多余的表。范化是在识别数据库中的数据元素、关系，以及定义所需的表和各表中的项目这些初始工作之后的一个细化的过程。
下面是范化的一个例子 Customer Item purchased Purchase price Thomas Shirt $40 Maria Tennis shoes $35 Evelyn Shirt $40 Pajaro Trousers $25
如果上面这个表用于保存物品的价格，而你想要删除其中的一个顾客，这时你就必须同时删除一个价格。范化就是要解决这个问题，你可以将这个表化为两个表，一个用于存储每个顾客和他所买物品的信息，另一个用于存储每件产品和其价格的信息，这样对其中一个表做添加或删除 *** 作就不会影响另一个表。
关系数据库的几种设计范式介绍
1 第一范式（1NF）
在任何一个关系数据库中，第一范式（1NF）是对关系模式的基本要求，不满足第一范式（1NF）的数据库就不是关系数据库。
所谓第一范式（1NF）是指数据库表的每一列都是不可分割的基本数据项，同一列中不能有多个值，即实体中的某个属性不能有多个值或者不能有重复的属性。如果出现重复的属性，就可能需要定义一个新的实体，新的实体由重复的属性构成，新实体与原实体之间为一对多关系。在第一范式（1NF）中表的每一行只包含一个实例的信息。例如，对于图3-2 中的员工信息表，不能将员工信息都放在一列中显示，也不能将其中的两列或多列在一列中显示；员工信息表的每一行只表示一个员工的信息，一个员工的信息在表中只出现一次。简而言之，第一范式就是无重复的列。
2 第二范式（2NF）
第二范式（2NF）是在第一范式（1NF）的基础上建立起来的，即满足第二范式（2NF）必须先满足第一范式（1NF）。第二范式（2NF）要求数据库表中的每个实例或行必须可以被惟一地区分。为实现区分通常需要为表加上一个列，以存储各个实例的惟一标识。如图3-2 员工信息表中加上了员工编号（emp_id）列，因为每个员工的员工编号是惟一的，因此每个员工可以被惟一区分。这个惟一属性列被称为主关键字或主键、主码。
第二范式（2NF）要求实体的属性完全依赖于主关键字。所谓完全依赖是指不能存在仅依赖主关键字一部分的属性，如果存在，那么这个属性和主关键字的这一部分应该分离出来形成一个新的实体，新实体与原实体之间是一对多的关系。为实现区分通常需要为表加上一个列，以存储各个实例的惟一标识。简而言之，第二范式就是非主属性非部分依赖于主关键字。
3 第三范式（3NF）
满足第三范式（3NF）必须先满足第二范式（2NF）。简而言之，第三范式（3NF）要求一个数据库表中不包含已在其它表中已包含的非主关键字信息。例如，存在一个部门信息表，其中每个部门有部门编号（dept_id）、部门名称、部门简介等信息。那么在图3-2的员工信息表中列出部门编号后就不能再将部门名称、部门简介等与部门有关的信息再加入员工信息表中。如果不存在部门信息表，则根据第三范式（3NF）也应该构建它，否则就会有大量的数据冗余。简而言之，第三范式就是属性不依赖于其它非主属性。
数据库设计三大范式应用实例剖析
数据库的设计范式是数据库设计所需要满足的规范，满足这些规范的数据库是简洁的、结构明晰的，同时，不会发生插入（insert）、删除（delete）和更新（update） *** 作异常。反之则是乱七八糟，不仅给数据库的编程人员制造麻烦，而且面目可憎，可能存储了大量不需要的冗余信息。
设计范式是不是很难懂呢？非也，大学教材上给我们一堆数学公式我们当然看不懂，也记不住。所以我们很多人就根本不按照范式来设计数据库。
实质上，设计范式用很形象、很简洁的话语就能说清楚，道明白。本文将对范式进行通俗地说明，并以笔者曾经设计的一个简单论坛的数据库为例来讲解怎样将这些范式应用于实际工程。
范式说明
第一范式（1NF）：数据库表中的字段都是单一属性的，不可再分。这个单一属性由基本类型构成，包括整型、实数、字符型、逻辑型、日期型等。
例如，如下的数据库表是符合第一范式的：
字段1 字段2 字段3 字段4
而这样的数据库表是不符合第一范式的：
字段1 字段2 字段3 字段4
字段3.1 字段3.2
很显然，在当前的任何关系数据库管理系统（DBMS）中，傻瓜也不可能做出不符合第一范式的数据库，因为这些DBMS不允许你把数据库表的一列再分成二列或多列。因此，你想在现有的DBMS中设计出不符合第一范式的数据库都是不可能的。
第二范式（2NF）：数据库表中不存在非关键字段对任一候选关键字段的部分函数依赖（部分函数依赖指的是存在组合关键字中的某些字段决定非关键字段的情况），也即所有非关键字段都完全依赖于任意一组候选关键字。
假定选课关系表为SelectCourse(学号, 姓名, 年龄, 课程名称, 成绩, 学分)，关键字为组合关键字(学号, 课程名称)，因为存在如下决定关系：
(学号, 课程名称) → (姓名, 年龄, 成绩, 学分)
这个数据库表不满足第二范式，因为存在如下决定关系：
(课程名称) → (学分)
(学号) → (姓名, 年龄)
即存在组合关键字中的字段决定非关键字的情况。
由于不符合2NF，这个选课关系表会存在如下问题：
(1) 数据冗余：
同一门课程由n个学生选修，"学分"就重复n-1次；同一个学生选修了m门课程，姓名和年龄就重复了m-1次。
(2) 更新异常：
若调整了某门课程的学分，数据表中所有行的"学分"值都要更新，否则会出现同一门课程学分不同的情况。
(3) 插入异常：
假设要开设一门新的课程，暂时还没有人选修。这样，由于还没有"学号"关键字，课程名称和学分也无法记录入数据库。
(4) 删除异常：
假设一批学生已经完成课程的选修，这些选修记录就应该从数据库表中删除。但是，与此同时，课程名称和学分信息也被删除了。很显然，这也会导致插入异常。
把选课关系表SelectCourse改为如下三个表：
学生：Student(学号, 姓名, 年龄)；
课程：Course(课程名称, 学分)；
选课关系：SelectCourse(学号, 课程名称, 成绩)。
这样的数据库表是符合第二范式的， 消除了数据冗余、更新异常、插入异常和删除异常。
另外，所有单关键字的数据库表都符合第二范式，因为不可能存在组合关键字。
第三范式（3NF）：在第二范式的基础上，数据表中如果不存在非关键字段对任一候选关键字段的传递函数依赖则符合第三范式。所谓传递函数依赖，指的是如果存在"A → B → C"的决定关系，则C传递函数依赖于A。因此，满足第三范式的数据库表应该不存在如下依赖关系：
关键字段 → 非关键字段x → 非关键字段y
假定学生关系表为Student(学号, 姓名, 年龄, 所在学院, 学院地点, 学院电话)，关键字为单一关键字"学号"，因为存在如下决定关系：
(学号) → (姓名, 年龄, 所在学院, 学院地点, 学院电话)
这个数据库是符合2NF的，但是不符合3NF，因为存在如下决定关系：
(学号) → (所在学院) → (学院地点, 学院电话)
即存在非关键字段"学院地点"、"学院电话"对关键字段"学号"的传递函数依赖。
它也会存在数据冗余、更新异常、插入异常和删除异常的情况，读者可自行分析得知。
把学生关系表分为如下两个表：
学生：(学号, 姓名, 年龄, 所在学院)；
学院：(学院, 地点, 电话)。
这样的数据库表是符合第三范式的，消除了数据冗余、更新异常、插入异常和删除异常。
鲍依斯-科得范式（BCNF）：在第三范式的基础上，数据库表中如果不存在任何字段对任一候选关键字段的传递函数依赖则符合第三范式。
假设仓库管理关系表为StorehouseManage(仓库ID, 存储物品ID, 管理员ID, 数量)，且有一个管理员只在一个仓库工作；一个仓库可以存储多种物品。这个数据库表中存在如下决定关系：
(仓库ID, 存储物品ID) →(管理员ID, 数量)
(管理员ID, 存储物品ID) → (仓库ID, 数量)
所以，(仓库ID, 存储物品ID)和(管理员ID, 存储物品ID)都是StorehouseManage的候选关键字，表中的唯一非关键字段为数量，它是符合第三范式的。但是，由于存在如下决定关系：
(仓库ID) → (管理员ID)
(管理员ID) → (仓库ID)
即存在关键字段决定关键字段的情况，所以其不符合BCNF范式。它会出现如下异常情况：
(1) 删除异常：
当仓库被清空后，所有"存储物品ID"和"数量"信息被删除的同时，"仓库ID"和"管理员ID"信息也被删除了。
(2) 插入异常：
当仓库没有存储任何物品时，无法给仓库分配管理员。
(3) 更新异常：
如果仓库换了管理员，则表中所有行的管理员ID都要修改。
把仓库管理关系表分解为二个关系表：
仓库管理：StorehouseManage(仓库ID, 管理员ID)；
仓库：Storehouse(仓库ID, 存储物品ID, 数量)。
这样的数据库表是符合BCNF范式的，消除了删除异常、插入异常和更新异常。
范式应用
我们来逐步搞定一个论坛的数据库，有如下信息：
（1） 用户：用户名，email，主页，电话，联系地址
（2） 帖子：发帖标题，发帖内容，回复标题，回复内容
第一次我们将数据库设计为仅仅存在表：
用户名 email 主页 电话 联系地址 发帖标题 发帖内容 回复标题 回复内容
这个数据库表符合第一范式，但是没有任何一组候选关键字能决定数据库表的整行，唯一的关键字段用户名也不能完全决定整个元组。我们需要增加"发帖ID"、"回复ID"字段，即将表修改为：
用户名 email 主页 电话 联系地址 发帖ID 发帖标题 发帖内容 回复ID 回复标题 回复内容
这样数据表中的关键字(用户名，发帖ID，回复ID)能决定整行：
(用户名,发帖ID,回复ID) → (email,主页,电话,联系地址,发帖标题,发帖内容,回复标题,回复内容)
但是，这样的设计不符合第二范式，因为存在如下决定关系：
(用户名) → (email,主页,电话,联系地址)
(发帖ID) → (发帖标题,发帖内容)
(回复ID) → (回复标题,回复内容)
即非关键字段部分函数依赖于候选关键字段，很明显，这个设计会导致大量的数据冗余和 *** 作异常。
我们将数据库表分解为（带下划线的为关键字）：
（1） 用户信息：用户名，email，主页，电话，联系地址
（2） 帖子信息：发帖ID，标题，内容
（3） 回复信息：回复ID，标题，内容
（4） 发贴：用户名，发帖ID
（5） 回复：发帖ID，回复ID
这样的设计是满足第1、2、3范式和BCNF范式要求的，但是这样的设计是不是最好的呢？
不一定。
观察可知，第4项"发帖"中的"用户名"和"发帖ID"之间是1：N的关系，因此我们可以把"发帖"合并到第2项的"帖子信息"中；第5项"回复"中的"发帖ID"和"回复ID"之间也是1：N的关系，因此我们可以把"回复"合并到第3项的"回复信息"中。这样可以一定量地减少数据冗余，新的设计为：
（1） 用户信息：用户名，email，主页，电话，联系地址
（2） 帖子信息：用户名，发帖ID，标题，内容
（3） 回复信息：发帖ID，回复ID，标题，内容
数据库表1显然满足所有范式的要求；
数据库表2中存在非关键字段"标题"、"内容"对关键字段"发帖ID"的部分函数依赖，即不满足第二范式的要求，但是这一设计并不会导致数据冗余和 *** 作异常；
数据库表3中也存在非关键字段"标题"、"内容"对关键字段"回复ID"的部分函数依赖，也不满足第二范式的要求，但是与数据库表2相似，这一设计也不会导致数据冗余和 *** 作异常。
由此可以看出，并不一定要强行满足范式的要求，对于1：N关系，当1的一边合并到N的那边后，N的那边就不再满足第二范式了，但是这种设计反而比较好！
对于M：N的关系，不能将M一边或N一边合并到另一边去，这样会导致不符合范式要求，同时导致 *** 作异常和数据冗余。
对于1：1的关系，我们可以将左边的1或者右边的1合并到另一边去，设计导致不符合范式要求，但是并不会导致 *** 作异常和数据冗余。
结论
满足范式要求的数据库设计是结构清晰的，同时可避免数据冗余和 *** 作异常。这并意味着不符合范式要求的设计一定是错误的，在数据库表中存在1：1或1：N关系这种较特殊的情况下，合并导致的不符合范式要求反而是合理的。
在我们设计数据库的时候，一定要时刻考虑范式的要求。
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应该是第二种说法，只听说过1NF,2NF,3NF这么分的，我大学教科书上也这么写的
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