刚体按转轴转和按质心转为什么一样

第三讲 质心运动定理与刚体转动定律 20181016多个质点构成的系统，假设系统的质量可以集中于一点，这个点即为质量中心，简称质心。质心是质点系质量分布的平均位置，与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心通常不在同一假想点上。一、质心运动定理设系统由n个质点组成，各质点的质量分别为，位矢分别是，则此质点系质心的位置矢量为因此，质心的加速度 设第个质点所受的外力为，第个质点对第个质点所受的作用力为，则对每个质点应用牛顿第二定律有 将n个式子相加，并注意到质点间的相互作用力有，得令，称为质点系所受到的合外力，，称为质点系的总质量，则这表明，质点系所受的合外力等于质点系的总质量与其质心加速度的乘积，这就是质心运动定理。二、质心运动守恒定理如果作用于质点系的合外力恒等于零，则质心将处于静止或匀速直线运动状态。如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则质心在该轴的方向上将处于静止或匀速直线运动状态。三、刚体的转动定律刚体是指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体，是一种理想模型。图为一绕固定轴转动的刚体，P为刚体上某一质点，其质量为，到转轴的距离为，受到刚体外的外力为，内力为，则对P点有为质点P运动的加速度，由于质点P绕固定轴做圆周运动，其切线加速度满足为刚体转动的角加速度，上式每一项都乘以得是外力对转轴的力矩，是内力对转轴的力矩。对组成刚体的每个质点都可以写出以上形式的方程，将这些方程累加可得由于内力是成对出现的，且每对内力都是等值、反向、共线的，故有而是刚体所受各外力对转轴的力矩的矢量和，即合外力矩，用M表示，是由刚体本身的质量分布情况所决定，称为刚体对此转轴的转动惯量，用I表示，则上式可简写为此式即为刚体的转动定律。作用于刚体上的力，一方面会改变刚体的平动状态，产生平动加速度；另一方面，力矩又会改变刚体的转动状态，产生角加速度。平动加速度由质心运动定理给出，角加速度由转动定律给出，因此，刚体的动力学方程是

显然，若，且，则此时刚体处于平衡状态。转动定律是在刚体绕固定轴转动的情形下推导出来的（成立条件），在非惯性系中研究刚体平动时，必须考虑惯性力的的影响；但是，因为惯性力作用在质心上，对质心的力矩为零，若转轴通过质心，则应用转动定律时不需要考虑惯性力的影响。四、转动惯量一般情况下刚体对某轴的转动惯量需用高等数学求得，但是我们已知常见刚体绕通过质心的轴的转动惯量，再根据平行轴定理和正交轴定理，可求出不少情形下的转动惯量。（1）几种常见刚体的转动惯量

①质量为m，长度为的均匀细杆，绕通过杆中点且与杆垂直的轴转动时的转动惯量②质量为m，半径为R的均匀薄圆环，绕通过圆心且与环面垂直的轴转动③质量为m，内外半径分别为的均匀圆环，绕通过圆心且与环面垂直的轴转动④质量为m，半径为R的均匀圆柱体，绕通过柱体的轴线转动⑤质量为m，半径为R的均匀薄球壳，绕直径转动⑤质量为m，半径为R的均匀球体，绕直径转动

（2）平行轴定理如图，设刚体绕通过质心的转轴的转动惯量为，则绕与之平行且相距为d的转轴的转动惯量为（3）正交轴定理如图，设有一个薄板状刚体（成立条件），X轴、Y轴在薄板平面内且相互垂直，Z轴与薄板垂直，如果刚体绕X轴、Y轴、Z轴转动的转动惯量分别为，则[例1]使半径R=10cm重量 p=10kg 的均匀实心圆柱体以角速度o =10转/秒、绕中心轴转动，然后将此匀速转动的圆柱体轻轻放在摩擦系数0·1的水平面上。问径过多长时间后圆柱体变为纯滚动？[例2]如图（a）表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图中左方支点转动，总质量为m，质心在距转轴处，闸门及钢架对支点的总转动惯量为，可用钢丝绳将弧形闸门提起放水。近似认为在开始提升时钢架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为为重力加速度，可不计摩擦。因水的浮力与其他力相比很小，亦不计。

（1）求开始提升的瞬间，钢丝绳对弧形闸门的拉力和支点对闸门钢架的支撑力；（2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门，如图（b），需多大拉力？[练习1]如图（a）表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为，线的另一端通过定滑轮悬挂质量为m的重物。已知转动架转动惯量为，并测得m自静止开始下落h高度的时间为t，求待测物体的转动惯量，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮与线的质量，线的长度不变。

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第三讲 质心运动定理与刚体转动定律(教师版)

第三讲 质心运动定理与刚体转动定律 20181016

多个质点构成的系统，假设系统的质量可以集中于一点，这个点即为质量中心，简称质心。质心是质点系质量分布的平均位置，与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心通常不在同一假想点上。

一、质心运动定理

设系统由n个质点组成，各质点的质量分别为，位矢分别是，则此质点系质心的位置矢量为

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因此，质心的加速度

设第个质点所受的外力为，第个质点对第个质点所受的作用力为，则对每个质点应用牛顿第二定律有



将n个式子相加，并注意到质点间的相互作用力有，得

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令，称为质点系所受到的合外力，，称为质点系的总质量，则



这表明，质点系所受的合外力等于质点系的总质量与其质心加速度的乘积，这就是质心运动定理。

二、质心运动守恒定理

如果作用于质点系的合外力恒等于零，则质心将处于静止或匀速直线运动状态。如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则质心在该轴的方向上将处于静止或匀速直线运动状态。

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三、刚体的转动定律

刚体是指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体，是一种理想模型。图为一绕固定轴转动的刚体，P为刚体上某一质点，其质量为，到转轴的距离为，受到刚体外的外力为，内力为，则对P点有



为质点P运动的加速度，由于质点P绕固定轴做圆周运动，其切线加速度满足

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为刚体转动的角加速度，上式每一项都乘以得

是外力对转轴的力矩，是内力对转轴的力矩。对组成刚体的每个质点都可以写出以上形式的方程，将这些方程累加可得

由于内力是成对出现的，且每对内力都是等值、反向、共线的，故有



超声波技术

超声波定位目前大多数采用反射式测距法。系统由一个主测距器和若干个电子标签组成，主测距器可放置于移动机器人本体上，各个电子标签放置于室内空间的固定位置。定位过程如下：先由上位机发送同频率的信号给各个电子标签，电子标签接收到后又反射传输给主测距器，从而可以确定各个电子标签到主测距器之间的距离，并得到定位坐标。

红外线技术

红外线是一种波长间于无线电波和可见光波之间的电磁波。典型的红外线室内定位系统Activebadges使待测物体附上一个电子标识，该标识通过红外发射机向室内固定放置的红外接收机周期发送该待测物唯一ID，接收机再通过有线网络将数据传输给数据库。这个定位技术功耗较大且常常会受到室内墙体或物体的阻隔，实用性较低。

超宽带技术

超宽带技术是近年来新兴的一项无线技术，目前，包括美国，日本，加拿大等在内的国家都在研究这项技术，在无线室内定位领域具有良好的前景。UWB技术是一种传输速率高（最高可达1000Mbps以上），发射功率较低，穿透能力较强并且是基于极窄脉冲的无线技术，无载波。正是这些优点，使它在室内定位领域得到了较为精确的结果。

射频识别技术

射频定位技术实现起来非常方便，而且系统受环境的干扰较小，电子标签信息可以编辑改写比较灵活。

NOKOV室内定位技术，主要用于实时准确测量，记录物体在真实三维空间中的运动轨迹或姿态。其光学式动作捕捉系统利用多个高速相机，从不同角度监视和跟踪待捕捉目标上的标志点，根据计算机视觉原理，可以从多个高速摄像机的连续图像序列里，确定某个点在空间中的位置和运动轨迹，获取得到的实时刚体位姿数据通过SDK发送到无人机地面站，地面站输出控制命令进一步控制无人机的运动。考虑到不同的实际情况，动作捕捉工作站也可以将实时刚体位姿数据通过SDK，发送到无人机的控制芯片，利用无人机进行解算数据，实现自主协同控制。

NOKOV室内定位系统

例如：在同济大学建筑与城市规划学院开发的无人机集群自主建造系统中，就使用了NOKOV动作捕捉系统。建造系统整体由无人机空间位姿反馈和地面站轨迹规划控制两部分组成，系统定位需求分为两个部分：位姿控制和全局定位控制。尽管NOKOV动作捕捉系统可以对室内刚体进行姿态的解算，且解算精度比机载惯性测量单元好，但由于系统内置的惯性测量单元足以支撑刚体的姿态估计，所以在位姿控制部分，使用的是无人机控制领域常用的解决方案，即利用机载的姿态传感器、磁力计、气压计和空速计等传感器系统综合处理无人机实时的局部姿态信息。系统的全局定位控制采用了基于光学红外相机的NOKOV动作捕捉系统，代替室外常用的GPS定位系统对无人机的实时位置进行跟踪，以满足室内无人机稳定悬停的作业要求，同时将无人机坐标信息传回地面站计算机的可视化界面。

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