第二单元 用python学习微积分（十）曲线构图下和最值问题

第二单元 用python学习微积分（十）曲线构图下和最值问题

本文内容来自于学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-最值问题-网易公开课

一、曲线构图例子

(看出原函数双曲线函数)

因为导数永不为0， 所以这个函数没有驻点

画这个函数的简图，首先考虑非法点x=-2

当 则

当 则

可以想象这个会是

这时考虑当x取 时 ，同时由于f'(x) 永不为0，因此没有驻点，所以不会出现翻转（没有turning point， 函数中没有一个点有一根平的切线）（非法点也已经考虑清楚了）。

检查：这双曲线在下-infinity<x<-2 -2<x<infinity 随x增长y增长， 因为导数恒正

from sympy import *
import numpy as np 

import matplotlib.pyplot as plt 

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
ax.set_aspect( 1 ) 

def DrawXY(xFrom,xTo,steps,expr,color,label,plt):
    yarr = []
    xarr = np.linspace(xFrom ,xTo, steps) 
    for xval in xarr:
        yval = expr.subs(x,xval)
        yarr.append(yval)
    y_nparr = np.array(yarr) 
    plt.plot(xarr, y_nparr, c=color, label=label)    

def TangentLine(exprY,x0Val,xVal):
    diffExpr = diff(exprY)
    x1,y1,xo,yo = symbols('x1 y1 xo yo')
    expr = (y1-yo)/(x1-xo) - diffExpr.subs(x,x0Val)
    eq = expr.subs(xo,x0Val).subs(x1,xVal).subs(yo,exprY.subs(x,x0Val))
    eq1 = Eq(eq,0)
    solveY = solve(eq1)
    return xVal,solveY

def DrawTangentLine(exprY, x0Val,xVal1, xVal2, clr, txt):
    x1,y1 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal1)
    x2,y2 = TangentLine(exprY, x0Val, xVal2)
    if len(txt)>0:
        plt.plot([x1,x2],[y1,y2], color = clr, label=txt)
    else:
        plt.plot([x1,x2],[y1,y2], color = clr)
        
x= symbols('x')
y = (x+1)/(x+2)
DrawXY(-10,-2.1,100,y,'green','(x+1)/(x+2)',plt)
DrawXY(-1.9,8,100,y,'green','(x+1)/(x+2)',plt)

plt.plot([-12,10],[1,1], color = 'gray', label= 'y=1')

plt.legend(loc='upper right')
plt.show() 

0 |_{ -infty 上凹函数

下凹函数

这两个二阶导数的结果告诉我们这个原函数的图像不是波浪形

二、曲线构图总结：

1、描点

a 画 找到函数的不连续点（尤其是函数值趋向于无穷的点）

b 画 找到无限远端的点即x趋向于无穷（ ）的点

c 标出那些容易找到的点，比如在坐标轴上的....(optional)

2、

a 求导f'(x) = 0

b 画 驻点和驻点的值

3、根据导数检查

在每个以驻点或不连续点为端点的区间根据f'(x)检查是否递增或递减

4、根据2次导数检查（由于求二阶导数经常非常复杂，所以没有要求尽量避免这一步）

在每个以驻点或不连续点为端点的区间根据f''(x) >或< 0, 检查是否符合上凹(concave up)或下凹(concave down)

f''(x) = 0 求出拐点( inflection point )

5、综合以上

三、例子

(x>0 , 对数的定义域没有负）

1、

a

b 远端点

(2

2、

驻点为：(e,e)

x= symbols('x')
y = x/ln(x)
DrawXY(0,0.9,100,y,'r','',plt)
DrawXY(1.1,10,100,y,'r','',plt)
plt.plot([np.e,np.e],[-10,12.5], color = 'gray', label= 'x=e')
plt.plot([1,1],[-10,12.5], color = 'g', label= 'x=1')

3、

0 0 因此此时f'(x) < 0，f(x) 递减

1 0 因此此时f'(x) < 0，f(x) 递减

e=x 时 ln(x) -1 = 0 , 驻点

x>e 时ln(x) - 1 > 0 , ln(x)*ln(x) > 0 因此此时f'(x) > 0，f(x) 递增

符合图像

4、

（从这能看出其实x=0点处的f'(x) = 0）

0, xln^3(x)<0)" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?f%27%27%28x%29%7C_%7B0%3Cx%3C1%7D%20%3C%200%20.....%28%202-ln%28x%29%20%3E%200%2C%20xln%5E3%28x%29%3C0%29" /> 下凹

0 ...... ( 2-ln(x) > 0, xln^3(x)>0)" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?f%27%27%28x%29%7C_%7B%202%3Cx%3Ce%5E2%7D%20%3E0%20......%20%28%202-ln%28x%29%20%3E%200%2C%20xln%5E3%28x%29%3E0%29" /> 上凹

e^2} <0 ...... ( 2-ln(x) < 0, xln^3(x)>0)" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?f%27%27%28x%29%7C_%7Bx%3Ee%5E2%7D%20%3C0%20......%20%28%202-ln%28x%29%20%3C%200%2C%20xln%5E3%28x%29%3E0%29" /> 下凹

这里发现了问题， 没有考虑这么远的点x=e*e这个拐点， 在e*e点出发生了图形的变化

四、最值问题

从函数图形上很容易找到最大值和最小值，但是画图需要很大的计算量，希望找到捷径去解决这个问题

找到最值得关键点是找到驻点（critical point）同时观察不连续点

这个函数就有5个极值点（extreme point）, 但这个驻点是找最值不关心的