一元函数极值点处导数一定为零?二元函数极值点处偏导数一定为零?

函数在某点取得极值的必要条件是函数在该点的导数或者所有偏导数都等于0，

反之不成立，这个不是充要条件，如果函数在定义域的任意一点的导数或者偏导数中的一个不等于0，函数就不存在极值，

虽然函数可能不存在极值，但是连续函数定义域是一个闭区间，必然有最大值和最小值，最大值和最小值点必然为边界点，

如果函数有极值，这个函数极值，不一定是最大值，最小值，应该把函数极值和边界点值进行比较才能得出最大值和最小值，

1、一元一次函数，看单调性秋最值

2、根式函数，为单调递增函数

3、分式函数，看系数k，k >0,为增函数；k<0为减函数

4、复合函数那情况就多了，外增内增复合为增，外增内减复合为减；外减内增复合为减，外减内减复合为增的原则加以判断。

1F（x、y）分别对x,y求偏导，目的是联立偏导方程，找出驻点。

2FxxFyy和FxyFyx的相对数值大小作为判断依据，目的就是，判断第一步中驻点是否为极值点。

二元（或都多元）极值的求法思想与一元完全类似，试回忆一元函数求极值：

1f'(x)=0,找出驻点。

2f''(x)判断，驻点是否为极值。  

设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 , 又  

f x ( x 0 , y 0 ) = 0 ,  

f y ( x 0 , y 0 ) = 0 ,  

令

f xx ( x 0 , y 0 ) = A ,

f xy ( x 0 , y 0 ) = B ,

f yy ( x 0 , y 0 ) = C ,

则 f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处是否取得极值的条件如下：

(1) AC - B^2 >0 时具有极值 , 且当 A <0 时有极大值 , 当 A >0 时有极小值 ;

(2) AC - B^2 <0 时没有极值 ;

(3) AC - B^2 = 0 时可能有极值 , 也可能没有极值

是否是极值需用其它方法，一般可结合图形判定

在函数 f ( x , y ) 的驻点处

如果 f xx × f yy - f xy ^2 >0 , 则函数具有极值 , 且

当 f xx <0 时有极大值 ,  

当 f xx >0 时有极小值。

函数的极值是个局部性概念，而最值是个全局性概念。 

极大值可能小于极小值，极小值可能大于极大值。

函数的极值：极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大，这函数在该点处的值就是一个极大值。

极值是变分法的一个基本概念。泛函在容许函数的一定范围内取得的最大值或最小值，分别称为极大值或极小值，统称为极值。使泛函达到极值的变元函数称为极值函数，若它为一元函数，通常称为极值曲线。极值也称为相对极值或局部极值。

极值是“极大值” 和 “极小值”的统称。如果函数在某点的 值大于或等于在该点附近任何其他 点的函数值，则称函数在该点的值 为函数的“极大值”。如果函数在某 点的值小于或等于在该点附近任何 其他点的函数值，则称函数在该点 的值为函数的“极小值”。

函数的一种稳定值，即一个极大值或一个极小值，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点上取得。在给定的时期内，或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最高值或最低值。如果这个时期是整个有观测资料的时期，这个极值就是绝对极值。

求解答案a=3；f(x)=x³-3/2x²-6x+2；f(x)的极小值等于-8。

求解思路

1、根据极值的充分条件可知，当有极值存在，则f'(x0)=0。所以求解 (ax²-3x-6)=0方程，即可得到a值。

2、根据导数的几何意义，可知y(x)的切线的斜率等于 k=f'(x )。由此，通过积分计算得到y(x )。即f(x)=∫f'(x)dx=∫(ax²-3x-6)dx=a/3·x³-3/2x²-6x+C

3、根据“当x=-1时，y=11/2为极大值。”的条件，求得积分常数C值。得到f(x)的表达式。

4、根据极值的充分条件，（1）求f(x)的一阶导数f'(x)和二阶导数f"(x)；（2）求f'(x)=0时的x极值点；（3）把x值代入f"(x)中，判断其是极小值还是极大值。

求解过程 解：

1、求a值

根据条件当x=-1时，y(x)有极值。根据极值的充分条件，有

a×(-1)²-3×(-1)-6=0，a=3

2、求f(x)的表达式

根据导数的几何意义，可知

k=f'(x )=3x²-3x-6

积分上式，有

f(x)=∫f'(x )dx=∫(3x²-3x-6)dx=x³-3/2x²-6x+C

再根据已知条件，当x=-1时，y=11/2。则

(-1)³-3/2·(-1)²-6·(-1)+C=11/2

C=2

所以，原函数f(x)=x³-3/2x²-6x+2

3、求极值

（1）求f(x)的一阶导数f'(x)和二阶导数f"(x)

f'(x)=(x³-3/2x²-6x+2)'=3x²-3x-6=3(x+1)(x-2)

f"(x)=(x³-3/2x²-6x+2)"=(3x²-3x-6)'=6x-3

（2）求f'(x)=0时的极值点

3(x+1)(x-2)=0，得

x1=-1，y1=11/2

x2=2，y2=-8

（3）判断所求的极值点是极小值还是极大值

当x=-1时，f"(-1)=6·(-1)-3=-9<0，有极大值

当x=2时，f"(2)=6·(2)-3=9>0，有极小值

所以，f(x)的极小值等于-8。

本题知识点

1、导数的几何意义。在几何上，函数f(x)的导数 f'(x) 是函数y=f(x)表示的曲线在点x 的切线的斜率，即  k=f ′(x) = tanα 

式中，α为曲线在点x的切线与x轴的夹角。

2、极值判断条件。

1）、一元函数的极值。如果函数f(x)在点x0的某一邻域内满足f(x)<f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值；如果函数f(x)在点(x0)的某一邻域内满足f(x)>f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极小值。点(x0)称为极值点。

2、极值的判定。可以根据第一充分条件和第二充分条件来判断。

第一充分条件：设y=f(x)在x0的某一邻域可导，且f'(x0)=0或f'(x0)不存在，如果y'在x0的两侧异号，则f(x0)为极值；如果y'在x0的两侧同号，则f(x0)非极值。

第二充分条件：设y=f'(x0)=0，f"(x0)存在，且f"(x0)≠0，如果f"(x0)>0，则f(x0)为极小值；如果f"(x0)<0，则f(x0)为极大值。