谱论的谱测度的支集

设是n维欧几里得空间Rn,B是Rn上波莱尔集全体,(Rn,B,E)是希尔伯特空间h上谱测度空间。如果有Rn中开集G,使得E(G)=0,则必有按集的包含关系为最大的开集G0,使得E(G0)=0。称闭集σ=Rn-G0为E的支集，记为 suppE，换言之，σ是满足E(s)=I中（按包含关系为）最大的闭集,形象地说即谱测度E集中在闭集supp E上，并且 E不能集中在比suppE更小的闭集上，易知谱积分。 对于是拓扑空间，B是上波莱尔集或贝尔集全体，在适当假设下就能将谱测度支集的概念推广到(,B,E)的情况。

谱系　类似于单调增加右连续的（点）函数与勒贝格-斯蒂尔杰斯测度（集函数）的关系,对于谱测度（集的投影算子值函数）与“单调增加右连续的”（点）投影算子值函数也存在。下面以=R1（实直线）为例:设(R1,B, E)是希尔伯特空间h上的谱测度空间,规定Eλ=E((-∞,λ)，(λ∈(-∞，∞)),这时函数Eλ满足①单调性，当λ≥μ时,Eλ≥Eμ,②右连续性，当λn>λ，λn→λ时，强收敛于Eλ,③规范性，当λ→-∞时，Eλ强收敛于0；当λ→+∞时,Eλ强收敛于I。称满足①～③的Eλ为相应于E 的谱系。反之，任何满足①～③的函数Eλ必是惟一地相应于某个谱测度 E的谱系。对于有谱系的谱积分又常写作或。

我查资料感觉这两个的概念会不会都说的是一回事，因为对于一个特定的小波它们俩都是一个值。小波函数支撑长度可以理解为是这个函数横轴有值的范围，即不为零的宽度。具体可以通过在matlab命令窗口中输入waveinfo(db)（括号中是不同小波族名称）来查看不同小波的相关特性。我所知道的：你说的harr小波其实就是db1小波，除db1小波外，db小波族的支集长度和滤波器长度都是2N左右。sym小波的支集长度和滤波器长度同db小波族一致。只是与db小波族相比，sym小波族有更好的对称性。coif小波的支集长度为6N-1bior小波正确缩写表示为biorNrNd,其中，Nr，Nd分别是和重构和分解滤波器长度有关的参数。至于后面你提到的两个小波是不是不太常用啊，反正我几乎没有看见过。不过所有小波的相关参数都可以通过waveinfo（小波名）或者waveinfo（'小波名'）查到。其中小波名是各小波族的缩写，如：db,sym,coif,bior个人见解，希望能帮助到你。

特征脸方法

步骤一：获取包含M张人脸图像的集合S。在我们的例子里有25张人脸图像（虽然是25个不同人的人脸的图像，但是看着怎么不像呢，难道我有脸盲症么），如下图所示哦。每张图像可以转换成一个N维的向量（是的，没错，一个像素一个像素的排成一行就好了，至于是横着还是竖着获取原图像的像素，随你自己，只要前后统一就可以），然后把这M个向量放到一个集合S里，如下式所示。

步骤二：在获取到人脸向量集合S后，计算得到平均图像Ψ ，至于怎么计算平均图像，公式在下面。就是把集合S里面的向量遍历一遍进行累加，然后取平均值。得到的这个Ψ 其实还挺有意思的，Ψ 其实也是一个N维向量，如果再把它还原回图像的形式的话，可以得到如下的“平均脸”，是的没错，还他妈的挺帅啊。那如果你想看一下某计算机学院男生平均下来都长得什么样子，用上面的方法就可以了。

步骤三：计算每张图像和平均图像的差值Φ  ，就是用S集合里的每个元素减去步骤二中的平均值。

步骤四：找到M个正交的单位向量un ，这些单位向量其实是用来描述Φ  （步骤三中的差值）分布的。un 里面的第k（k=1,2,3M)个向量uk 是通过下式计算的，

当这个λk（原文里取了个名字叫特征值）取最小的值时，uk  基本就确定了。补充一下，刚才也说了，这M个向量是相互正交而且是单位长度的，所以啦，uk  还要满足下式：

上面的等式使得uk 为单位正交向量。计算上面的uk 其实就是计算如下协方差矩阵的特征向量：

其中

对于一个NxN（比如100x100）维的图像来说，上述直接计算其特征向量计算量实在是太大了（协方差矩阵可以达到10000x10000），所以有了如下的简单计算。

步骤四另解：如果训练图像的数量小于图像的维数比如（M<N^2)，那么起作用的特征向量只有M-1个而不是N^2个（因为其他的特征向量对应的特征值为0），所以求解特征向量我们只需要求解一个NxN的矩阵。这个矩阵就是步骤四中的AAT ，我们可以设该矩阵为L，那么L的第m行n列的元素可以表示为：

一旦我们找到了L矩阵的M个特征向量vl，那么协方差矩阵的特征向量ul就可以表示为：

这些特征向量如果还原成像素排列的话，其实还蛮像人脸的，所以称之为特征脸（如下图）。图里有二十五个特征脸，数量上和训练图像相等只是巧合。有论文表明一般的应用40个特征脸已经足够了。论文Eigenface for recognition里只用了7个特征脸来表明实验。

步骤五：识别人脸。OK，终于到这步了，别绕晕啦，上面几步是为了对人脸进行降维找到表征人脸的合适向量的。首先考虑一张新的人脸，我们可以用特征脸对其进行标示：

其中k=1,2M,对于第k个特征脸uk，上式可以计算其对应的权重，M个权重可以构成一个向量：

perfect，这就是求得的特征脸对人脸的表示了！

那如何对人脸进行识别呢，看下式：

其中Ω代表要判别的人脸，Ωk代表训练集内的某个人脸，两者都是通过特征脸的权重来表示的。式子是对两者求欧式距离，当距离小于阈值时说明要判别的脸和训练集内的第k个脸是同一个人的。当遍历所有训练集都大于阈值时，根据距离值的大小又可分为是新的人脸或者不是人脸的两种情况。根据训练集的不同，阈值设定并不是固定的。

后续会有对PCA理论的补充^_^已补充理论：特征脸(Eigenface)理论基础-PCA(主成分分析法)

参考资料：

1、Eigenface for Recognition：http://wwwcsucsbedu/~mturk/Papers/jcnpdf

2、特征脸维基百科：http://zhwikipediaorg/wiki/%E7%89%B9%E5%BE%81%E8%84%B8

3、Eigenface_tutorial：http://wwwpagesdrexeledu/~sis26/Eigenface%20Tutorialhtm

现有卫星遥感传感器的空间分辨率具有从1 m到数十公里的范围。不同分辨率的数据反映不同尺度的景观结构变化。不同的研究目标需要选用不同分辨率的遥感数据。但选取合适空间分辨率数据的标准是什么呢理想情况下，应该是选取包含所需信息而且数据量最小的空间分辨率的数据（Atkinson and Curran，1997）。但如何确定哪个包含有所需要的信息而又数据量最小的数据的空间分辨率，并不是一个简单的问题。

空间变量所表达的信息存在于对变量的测量之间的关系，这种关系可以由空间依赖或空间变异来表达（Atkinson and Curran，1997）。当我们关心某一变量的空间分布特征时，样本之间的空间变异决定估计的精确程度以及最终要显示的信息（Dungan et al，1994）。估计的精确程度和信息都是选择空间分辨率的参考标准（Atkinson，1995）。但对于遥感数据，因为其样本覆盖整个研究区域，空间变化只决定所要显示的信息（Atkinson，1997）。因此，要选择合适的空间分辨率的遥感数据，首先需要了解遥感信息随空间分辨率变化而产生的变化。

Strahler（1986）认为，遥感图像的景由覆盖整个区域的相互镶嵌或连续分布的离散目标组成。当遥感数据空间分辨率远小于景的目标时，相邻像元之间具有很大相似性；随着遥感图像空间分辨率的逐步变粗，相邻像元之间的相似性逐渐减弱，当像元大小等于景的目标大小时，由于相邻像元代表不同的目标，因此此时相邻像元的相似性最弱；当像元超过景的目标大小时，由于相邻像元中都含有不同目标物的信息，它们之间的相似性开始变大。衡量相邻像元间相似程度的一个指标是局部方差（Local Variance）。假设Z（Xij）是位于图像中Xij处的像元值，i和j为图像中的行列号，那么以Xij为中心的（2n+1）×（2m+1）大小窗口内的局部方差为：

遥感信息的不确定性研究

其中，μij为以Xij为中心，以（2n+1）×（2m+1）为大小窗口内像元的均值；以图像中的每一个像元为中心，计算该窗口的局部方差，然后计算其平均值，就可以算出该窗口下整个图像的平均局部方差。

Woodcock and Strahler（1987）提出了利用局部方差（local variance）确定最优空间分辨率的方法。该方法首先计算不同分辨率数据的平均局部方差，当遥感图像的平均局部方差达到最大时，此时图像的空间分辨率为最优。利用局部方差确定图像最优分辨率的问题之一是：在图像局部方差的计算中，由于边界效应，总有m或n个像元宽的边界内像元没有计算其周围的局部方差（Atkin son and Curran，1997）。

近年来，空间统计学，特别是地统计学（Geostatistics）方法被用于研究遥感信息的尺度效应问题。

在地统计学中，半方差是对变量空间变异（或空间依赖性）的一个度量，它通过计算变量的变异函数（variogram or semi-variogram）得到。不同的变异函数揭示不同的变量空间变异特征。Atkinson（1999）指出，变量的变异函数与支集（support）的大小有关。在地统计学的术语中，支集的大小指变量的测量单元的大小。在遥感数据中，支集和空间分辨率相对应。因为变量的空间变异随支集的大小而变化，因此可以通过研究变异函数的结构来确定合适的空间分辨率。

在地统计学的区域化变量理论中，变量在某一支集v上的观测可由如下模型表达：

遥感信息的不确定性研究

式中，Z（x）是一个定义在二维空间中x位置的随机函数（random function，RF）；mv是Z在区域V上的局部平均；e（x）是均值为零的随机函数。在满足内蕴平稳性假设（intrinsic hypothesis）时，有：

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式中，γ（h）为变异函数，它是一个区域化变量的半方差随步长h变化的函数。变异函数的结构刻画了变量的空间依赖性。

式（7-7）所定义的变异函数是在点支集（punctual support）上的变异函数。但实际中的观测常常是在一定大小范围的支集上。一定大小支集 V 上的变异函数可以通过点支集上的变异函数正则化（regularization）来估计（Journel and Huijbregts，1978）：

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式中，为中心距离相距 h 的两个大小为V 的支集之间的平均点变异函数，代表支集之间的空间变异；为大小为 V 的支集内部的平均点变异函数，代表支集内部的空间变异。从式（7-8）可以看出，区域化变量的空间变异由区域的空间变异和支集内的空间变异两部分组成。

对于遥感数据而言，由于所有的测量是在像元大小的支集上，因此，我们不能直接得到点的变异函数。但可以从支集V上的测量样本数据中得到支集V上的试验变异函数（experimental variogram）。设变量Z是以x1，x2，…为中心的大小为V的支集上的观测，那么变量V的实验变异函数为：

遥感信息的不确定性研究

将实验变异函数通过去正则化（de-regularization）处理，可以估计点的变异函数。实验变异函数的去正则化是一个复杂的迭代运算过程。Curran and Atkinson（1999）详细介绍了变异函数的去正则化过程。

图7-2 典型变异函数中各参数的意义

为便于数学表达和分析，实验变异函数一般可以用一个预先定义的变异函数模型拟合。常用的变异函数模型有指数模型，球状模型，高斯模型等（Deutsch and Journel，1998）。模型的参数，包括变程（range）、基台（sill）和块金效应（nugget），决定变量的空间变异结构（图7-2）。例如，球状模型的表达式为：

遥感信息的不确定性研究

式（7-10）中的参数 c0，c1和 a 分别表示变异函数的块金值，基台和变程。随着 h 的增大，变量的半方差也随着增加。当半方差达到最大时的 h 就是变异函数的变程。这个最大半方差叫做基台。块金值是 h 为零时的半方差。一般基台值代表变量本身的结构方差，块金主要是由测量误差引起（Atkinson，1995），而变程表示变量空间依赖的范围，距离大于变程的两点间的变量之间不再具有空间依赖。

通过对遥感图像变异函数参数分析，可以探索图像中的信息随图像分辨率的变化。Atkinson 等（1997，1999）提出了通过计算不同像元大小情况下空间步长等于一个像元时的半方差的变化，选择最优分辨率的方法。不同分辨率图像的实验变异函数通过公式（7-9）计算。当式（7-9）中 h 等于图像分辨率时，所计算的半方差即为该分辨率的 h 等于一个像元时的半方差。以图像的分辨率为横坐标，不同分辨率的 h 等于一个像元时的半方差为纵坐标做图，当半方差随像元的增大而达到最大时，对应的像元大小就是最优的图像分辨率。显然，这个方法和平均局部方差法具有相同的意义。当图像分辨率较小时，相邻像元具有很大空间依赖性，因此其半方差也较小；当图像分辨率相当于图像中景的目标物大小时，相邻像元之间不具有空间依赖性，此时半方差达到最大。不同分辨率图像的半方差的计算可以通过分别计算不同分辨率图像的变异函数得到，也可以通过公式（7-8），通过将点变异函数正则化，得到不同分辨率图像的变异函数。后者的优点在于可以得到任意分辨率图像的变异函数（Atkinson and Curran，1997；1999）。Atkinson 等（1997）分别用将此方法和局部方差方法选取的图像的最优分辨率进行了比较，得到了相似的结果。但这个方法的问题在于其计算过程，包括实验变异函数的去正则化和点变异函数的正则化，都是非常复杂的过程，需要不断的迭代运算，而且需要人为给定一些参数，不便于实际应用。

如式（7-8）所示，在支集 V 上的变量的变异函数由代表区域空间变异的部分和支集内部的空间变异两部分组成。对遥感数据来说，区域上的空间变异指像元之间的空间变异，而支集内部的空间变异则是像元内部的空间变异。一般随着像元尺度的增大，像元内部的空间变异和半方差也逐渐增大。当表示像元内的空间变异的变异函数用球状、指数或高斯等模型拟合时，其变程表示距离大于此变程的点之间不存在信息空间依赖。Wang Guangxing等（2001）以像元内变异函数的变程作为选择合适分辨率的一个指标。这种方法的前提是假定一定大小的像元内部有许多点的观测值。当像元较小时，由于其内部观测较少，很难计算出变异函数，或者即使有足够的观测值，由于一个小像元内点之间的空间依赖性很强，计算的变异函数没有明显的变程；而且，在每一个像元内算一个变异函数并做平均，其计算非常复杂。

根据Strahler 等（1986）关于遥感图像中景的模型，遥感图像中的景由一系列互相镶嵌的离散目标组成。不同目标具有不同的光谱辐射或反射特性，因此遥感图像可以反映图像中景的空间结构。将遥感图像从一个较细的分辨率尺度扩展到不同分辨率时，选择最优分辨率的最基本标准是保持原图像的结构特征。如果同一像元内包含不同的目标时，原图像的空间结构就会被模糊。因此要保持原图像的空间结构，最大的分辨率不应该超过原图像中目标的大小。以上不论是局部方差方法，h等于一个像元时的半方差方法，还是计算像元内平均变异方差的方法，其实质都是选取相当于原图像中目标大小尺寸的分辨率作为最优分辨率。但如上文所讨论，这些方法在实际应用中存在许多问题。

实际上，当原图像的分辨率远小于该图像景的目标大小时，根据托普勒（Tobler）地理学第一定律，相邻像元间具有很强的空间依赖性。随着像元间距离的增加，像元间的空间依赖性也减弱。反映在图像的变异函数上，则表现为随着h增大，半方差也随着增加。当像元之间的距离大于景的目标物大小时，由于像元属于不同的目标，它们之间不再具有空间依赖性，反映在变异函数上，表现为半方差达到最大，并随着像元间距离的进一步增大而保持基本不变。这时，图像半方差达到最大时的像元间距离应该是图像中景的目标的大小，表现在变异函数上，半方差达到最大时的h就是变异函数的变程a。因此，原图像变异函数的变程就相当于图像中景的目标的大小。当原图像分辨率相对于景的目标尺寸较小时，以原图像像元大小为空间步长，计算该图像的实验变异函数，就可以快速、方便地得到能保持该图像空间结构信息图像的最优分辨率。

函数集，就是某类函数的集合。泛函是研究函数集合之间关系的学科，研究对象是函数的集合（函数），不再是数了。函数空间不是数，而是某个函数关系集合。其特点是高度的抽象，很难想象。简单的想法，将它看做“符号”关系，就可以了。