雅可比行列式是什么?

雅可比行列式通常称为雅可比式（Jacobian)，它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式。

坐标系变换后单位微分元的比率或倍数。因为非线性方程组被线性化（偏微分）后，可以使用矩阵工具了，雅克比矩阵就是这个线性化后的矩阵。

任给一个n维向量X，其范数‖X‖是一个满足下列三个条件的实数：

（1）对于任意向量X，‖X‖≥0，且‖X‖＝0óX＝0。

（2）对于任意实数λ及任意向量X，‖λX‖＝｜λ｜‖X‖。

（3）对于任意向量X和Y，‖X＋Y‖≤‖X‖＋‖Y‖。

简介

在向量分析中，雅可比矩阵是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。

在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。

它们全部都以数学家卡尔·雅可比命名；英文雅可比行列式＂Jacobian"可以发音为［jaˈko biən]或者［ʤəˈko biən]。

地球仪上的坐标是经纬度，世界地图上的坐标我们取作直角坐标，那么除两极外，二者之间的有一个一一对应(映射)，这就是在进行坐标变换。我们在地球仪的北京附近圈出一块区域，假设它的面积是1，这块区域在地图上的面积也许不再是1，它与这个映射有关。雅可比行列式就是用来衡量这一关系的。当然，在积分中，我们说的面积是有向面积，可正可负，它与定向有关。现在，回顾一元积分的变量替换dy=y’dx，y’的几何意义表明，它就是一元的雅可比行列式。实际上，对于多元函数，虽然我们不提导数，但雅可比行列式就类似于“导数”。

雅可比行列式在积分坐标变换中的应用邹泽民系统论述雅可比行列式在函数积分学的坐标变换中的重要应用。因为（x，y）和（u，v）之间的关系未必是线性的关系，只有可逆的线性关系才能确保把直线映成直线，一般只能做到把直线映成曲线。

最常用的就是二重积分中的极坐标代换和三重积分的球坐标代换和柱面坐标代换，这个都是用雅可比行列式得出的，另外高数中确定隐函数F（x，y，z）=0所确定的函数的导数，也是由雅可比行列式得出的。

含义

如果在一个连通区域内雅可比行列式处处不为零，它就处处为正或者处处为负（其正负号标志着u-坐标系的旋转定向是否与x-坐标系的一致）。这样。连续可微函数组便在雅可比行列式不等于零的条件之下，在每一对相应点u与x的邻近范围内建立起点与点之间的一个一对一的对应关系。