复合函数求导怎么求？

复合函数求导公式：①设u＝g（x），对f（u）求导得：f＇（x）＝f＇（u）＊g＇（x），设u＝g（x），a＝p（u），对f（a）求导得：f＇（x）＝f＇（a）＊p＇（u）＊g＇（x）。

设函数y＝f（u）的定义域为Du，值域为Mu，函数u＝g（x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u。

有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：y＝f［g（x）］，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

扩展资料

求函数的定义域主要应考虑以下几点：

⑴当为整式或奇次根式时，R的值域；

⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；

⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；

⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。

⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。

⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。

⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求

⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。

⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。

⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

复合函数如何求导规则：

1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)g'(x)；

2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)p'(u)g'(x)。

定义

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数（composite function)，记为：y=f，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

定义域

若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B}综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

周期性

设y=f(u)的最小正周期为T1,μ＝φ（x)的最小正周期为T2,则y=f(μ）的最小正周期为T1T2，任一周期可表示为kT1T2(k属于R+)4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ＝φ（x)的单调性来决定。

即“增＋增＝增；减＋减＝增；增＋减＝减；减＋增＝减”，可以简化为“同增异减”。

复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′＝f(u)′＊g(x)′

例：

1、y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′＝f(u)′＊g(x)′＝＊(x^3)′＝＊(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]。

2、y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)(1/3 )=-sin(x/3)/3。

复合函数性质是什么复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：

（1)单调性规律如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间［g(m)，g(n)] (或［g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f为减函数。

（2)奇偶性规律若函数g(x)，f(x)，f的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数y=f是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f是偶函数。

你的证明是错误的，有两个地方；

u+du=g(x+dx)，？？，由u=g(x)能推出吗？，你好像是为了凑出结论而编出的，这只是形式上的问题，尚不太严重，严重的是下面这个，这涉及到基本概念。

 ( f(g(x+dx)) - f(g(x) ) /dx  = f'(x) ？？，就算左边有这样一个式子，它等于右边吗？这个写法是将y直接看成了x的函数。按设定，y=f(u),u=g(x)，y是u的函数不论有没有u=g(x)，我们能看到的是y随u的变化，我们针对y的任何运算包括求导只能针对u，只是因为u=g(x)，我们才认为y实质上是随x变化的，尽管实质上是这样的，但我们无法对y的运算直接针对x，只能通过中介u而达到。

讲到复合函数求导，那通常的非复合函数的求导就先确定了才行。导数是因为微分的存在而存在导数是两个微分的比值。dy=f‘(u)du,du=g'(x)dx,所以，dy=f‘(u)×g'(x)dx，dy/dx=f‘(u)×g'(x)通过这个链式法则，通过中介，我们间接的找到了实质上y与x的关系。注意：dy=f‘(u)du,du=g'(x)dx,这两个式子不论前面的u与后面的u有没有关系，都成立，一定要独立的看。如有关系，是一个u，则链式法则dy/dx=(dy/du)(du/dx)成立，否则dy/dx就没有意义。

你的推导方式：用取极限的方法用在复合求导上太繁琐不是说不行，因复合求导是基本概念求导上的二级概念，用基本概念推二级概念易懂，取极限的方法与二级概念隔了一层就繁琐。

第一部分也许说的不对，你主要看一些思路吧，仅供参考。

总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。

复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)g'(x)；②设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)p'(u)g'(x)；总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。两个函数商的复合函数可导的前提条件是作分母的函数即g(x)≠0，否则无意义。

复合函数求导，就是找出构成复合函数的子函数，一个复合函数可以拆分成无数种子函数。对于复合函数自身带有幂指对这类较为难求导的函数，一般来说会以它为中心进行化简，即最终子函数能够很容易求出复合函数中的幂指对。将复合函数的本框架作为原函数，化好子函数后，就是求导过程，划出来的函数全部求导，代入即可。

1设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)g'(x);2设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)p'(u)g'(x);

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为D_。

M_∩Du≠_，那么对于M_∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(compositefunction)。