正态分布密度函数

标准正态分布密度函数公式：

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

图形特征：

集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。

扩展资料：

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。

为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。 

若 服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。

（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）

面积分布

1、实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。不同 范围内正态曲线下的面积可用公式计算。

2、正态曲线下，横轴区间（μ-σ,μ+σ）内的面积为68268949%。

P{|X-μ|<σ}=2Φ（1）-1=06826

横轴区间（μ-196σ,μ+196σ）内的面积为95449974%。

P{|X-μ|<2σ}=2Φ（2）-1=09544

横轴区间（μ-258σ,μ+258σ）内的面积为99730020%。

P{|X-μ|<3σ}=2Φ（3）-1=09974

参考资料：

正态分布概率计算公式：

其中μ为均数，σ为标准差。μ决定了正态分布的位置，与μ越近，被取到的概率就越大，反之越小。σ描述的是正态分布的离散程度。σ越大，数据分布越分散曲线越扁平；σ越小，数据分布越集中曲线越陡峭。

正态分布符号定义：

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为的高斯分布，记为N(μ，)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。正态分布有两个参数，即均数（μ）和标准差（σ）。 

例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；d着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。

如上所述,f(x)是概率密度函数,而从－∞到某一个x值的区间内随机变量出现的概率可用正态分布函数来表示(图8-8),即正态分布函数为

放射性勘探技术

式(8-14)是一个非初等函数的积分,用初等函数的积分方法是无法积出其原函数的,但可以通过这个函数的几个特征值来描述这个函数的基本形态。

当x=μ－2σ时,累积概率值就是在给定(－∞,μ－2σ)范围内f(x)曲线与横轴所包的面积。当x=μ－σ时,累积概率值就是在给定(－∞,μ－σ)范围内f(x)曲线与横轴所包围的面积,如图8-8所示。其累积概率分别为23%和159%。当x取值不同时,可得不同的累积概率值。

图8-8 正态分布概率函数F(x)的示意图

经计算,当x取值在(μ－σ,μ+σ),(μ－2σ,μ+2σ),(μ－3σ,μ+3σ)以及(μ－196σ,μ+196σ)区间时,其概率如下：

落在(μ－σ,μ+σ)的概率为683%；

落在(μ－2σ,μ+2σ)的概率为954%；

落在(μ－3σ,μ+3σ)的概率为997%；

落在(μ－196σ,μ+196σ)的概率为95%。

上述结果称“3σ法则”,其意义见图8-7。这项规则是求取异常的理论基础,在放射性物探和化探中要经常遇到,需要掌握。

算出平均值和标准差μ、σ，代入正态分布密度函数表达式：

f(x) = exp{-(x-μ)²/2σ²}/[√(2π)σ]

给定x值,即可算出f值。

容易算得(x-3)/2服从N(0,1),令Y=(x-3)/2

所以P(5<x<9)=P(1<(x-3)/2<3)

=P(1<y<3)

=09987-08413

(思路：化成标准正态分布，然后求解，或是直接根据代换公式)

P(x>7)=P((x-3)/2>2)

=1-P((x-3)/2<=2)

=1-P(y<=2)

=1-09772

注：化成Y好理解，但是写的时候没有必要

正态分布的概率密度函数为f（x）从负无穷到正无穷的积分值1。

只需令式中正态分布的均值μ=0，标准差σ=1/根号2则该正太分布概率密度函数就变成了f(x)=(1/根号π)e^(-x^2)它从负无穷到正无穷的积分值为1。

因此，要求的积分：e^(-x^2)从负无穷到正无穷的积分值为根号π。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。

如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对f中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。