谁能告诉我实变函数中依测度收敛、几乎处处收敛和一致收敛的区别啊～真是纠结死了～

根据EropoB定理，近一致收敛需要在满足几乎处处收敛的条件下在加上f_k（x）对于每一个k都是几乎处处有限的而且m（E）＜＋∞。

区别也有，前面说了在Eropob定理里面要求几乎处处收敛那也就是说抛去零测集后f_k（x）收敛到f（x）但是为了满足一致收敛又要加强一点即要求抛去一个测度任意小（注意不是零测集）后才能得到一致收敛。其实并不矛盾，只是定理加强了而已。

现在说一下依测度收敛，依测度收敛在书里面只和几乎处处收敛比较，几乎处处收敛考虑的是抛去零测集后收敛，即在每一点收敛，而依测度收敛找的是在E中不满足函数列收敛的点并且这些点测度需要为0才可以。

扩展资料：

实变函数论是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集一个数量上的概念，这个概念叫做测度。

现代实变数理论着重于广泛应用集合论方法，通常分以下三部分:

①描述性理论。研究由极限过程得到的某些函数类的性质。

② 度量理论。研究以集合的测度概念为基础的函数性质。

③ 逼近理论。例如，连续函数可以用多项式逼近的魏尓斯特拉斯定理。

-实变函数

不知道是多少次去看这书了，可惜每一次都不得不暂时放手，不能坚持看完。

复变函数是很神奇的一个领域，总有人说它很简单，那估计是为了考试吧，因为相比于实数域内的函数及其微积分，复数域确实十分的神秘而微妙。

通常的数系的拓展不过是将点取得更密一些，从自然数，到整数，比例数，实数，它们的发展逃脱不出这个实数线，并没有本质的变化，但是，复数需要一个平面来表示，将数的维度由一维升为了二维，这是非常奇怪的事，但是又合情合理，既然实数可以把数从孤立的点拓展为连续的线，那复数将这条线给拓展为一个面又有什么不合适的呢？

然后是复数的代表运算，加法和乘法，加法是独立分量的运算，乘法也是独立分量的运算，但是它们采用的独立分量是不一致的，加法对应的是笛卡尔坐标的虚实轴，乘法对应的是极坐标的半径和角度，这两种坐标之间又具有联系，所以各自的独立性却导致了相互的联系性。这里，我感觉加法和乘法恐怕不是复数的本质运算，应该有某一种或几种更加精妙的运算可以实现真正的独立运算。就像张量之于具体坐标，一个是本质，一个是表象。显然，目前的加与乘是表象。

其实，上面这个问题可能是比较深刻的，即使在整数范围内，加法和乘法是否就是真的独立的呢？这个问题与世界难题abc猜想有关。

不过，这里更多的是关于二维数的问题，二维就应该可以表示为两个独立分量，就像向量一般，泾渭分明，互不干扰，但是，复数的乘法却在破坏这种独立性。虽然有人将复数的代数结构同构于二维对称矩阵的代数结构，不过，这真的是复数的本质吗？因为我并没有看相关的研究，所以也不能评价它的对错。假如真的是这样的同构，那估计也是局限在代数上，对于分析上的结果可能是无法继承的，不然的话，就产生了一个新的研究领域了。

什么是解析函数，如何判断，这些问题看书就能知道了。但是，解析函数是什么呢？我们都知道，实变函数是一个图像，总可以实际的或者示意的画出来，称之为函数的图像。看到一个图像，可以很容易的得到很多信息，这个函数的许多性质都可以从图中不费力的得到。

可是，复变函数画不出来，或者说很难在一幅图中画出来，有人采用模值与幅角的方法，模值为数值，幅角为颜色。实话说，这并不高明，而且很难去理解，颜色已经被附加上了特定含义，也就是等高线，用它去表示角度，实在是让人费解。但是把幅角作为数值就更让人难以理解了，因为它是一个周期量，表示在直线轴上更加难以理解了。

就因为图像画不出来，就导致复变函数的许多性质变得难以理解。像是处处不解析的函数，这就像处处不可导的函数一样难以想象。甚至更加难以想象，即使是性质良好的解析函数，也有许多看起来很古怪的性质，平均值定理，解析函数在某点的值等于以他为圆心，任意圆周上的值的平均值，由此得到最大模定理，函数模值的最大值不会出现在区域中，而应该在区域的边界上。对于解析区域为整个复平面的整函数而言，意味着函数的最大模值一定出现在无穷远处。

如果解析函数的图像可以画出，对于平均值定理而言，围绕任一点所做的一组同心圆看起来总是相对于圆心的值而振荡，对于圆心值的一个微小的修改都将导致无穷多的点随之变化。这是很神奇的事情，说明解析函数不可能对局部连续形变而其余部分保持不变，似乎暗示了解析函数保解析变换的依赖性和不连续性，就像量子化假设一般，只能取整体的某些分立值。

最大模定理姑且还是可以画出的，因为只涉及到了模值，可以画成三维空间的曲面，也就是二元函数的图像。

指数函数与正弦函数，都是整函数，所以模值最大点在无穷远。

单奇点的解析函数，模值最大出现在奇点处，也就是解析域的边界上。

至少在模值性质方面还是可以直观的看到。也算是一些安慰。

为什么图像无法画出？复平面也不过是一个平面而已，即使再怎么弯曲，扭转，拉伸至少在三维空间中还是可以表示的。可惜，这样表示出的曲面只依赖于单个参数，复数有着两个参数，于是，就不得不加入时间维度，变为随时间变化的二维曲面。

这其实也反映了复数强大的应用场景，表示一个时变的二维场。不管它是流场，电场，还是温度场。可是，总是还是让人遗憾的，如果现实是四维的就好了，那将会是多么精彩的世界。

微积分互相联系是已经广为人知，所谓的牛顿莱布尼兹公式，高斯公式，斯托克斯定理或者说是外微分的斯托克斯公式，表现在物理中是区域无源漏的连续性方程。

但是，解析函数给出了另一种联系，围绕某点的奇点积分，与该点的导数值的关系，这是更进一步的联系，毕竟前面的那些定理公式是绝不允许内部有奇点存在的。

零点与奇点本身就是复变函数中占比极重的内容，失去了奇点，那整个理论就变得干瘪而无聊。无非就是实数理论的平凡推广罢了。正是奇点的存在使得它变得神秘而微妙。奇点是不符合定义的点，是无视规则的点，是规则的边界，也就是解析函数的边界。许许多多的定理都表明了，解析函数内部其实空空如也，没有什么出彩的定理，是一个完美而无趣的天堂。反而是边界上有些各种奇妙性质。像之前提及的平均值定理，最大模定理，还有柯西积分公式，洛朗级数。绕奇点转一圈和转很多圈可能有些本质区别，也可能没有区别，这就导致了奇点的分类。虚假的奇点，极点和本质奇点。

奇点，在我看来就是平整表面上的凹坑，光线照到凹坑之外的地方，得到的是完美的反射光，然而，一旦接近这些凹坑，反射光就变得弯曲起来，性质变得十分的奇怪，随着进一步接近，甚至于包围了这个凹坑，形成了一个光圈，解析函数和光毕竟还是有所差别的，但是当积分路径靠近奇点时就不得不避开他，变得弯曲，假使不小心包住了，那麻烦就大了，积分值就变得很奇怪，要么是增加了某个特定值的整数倍，要么直接变成了发散的结果。

尽管，这些结果都可以通过理论得到一个数值上的原因，但这是远远不够的，数学如果不能应用于现实中，也只是一种美学，因人而异，而如果可以用来解释现实世界，就成为了强有力的逻辑支撑，以至于所有人都应该去理解它。

现实中的奇点，最出名的就是宇宙中的黑洞，它破坏了整个宇宙的平整，还有许多其他的奇点，比如，水池中的漏孔，光滑表面上的凹坑，围绕着奇点总会出现旋转的现象，似乎有什么东西在源源不断的被吸入奇点中。这种说法也是很有道理的，一般来说，这个点总可以将东西全部吸入，然后随着物质的消失而隐匿起来，不过，如果物质在不断的得到补充，那就能维持着微妙的平衡，复变函数中的奇点就是这种维持着的奇点，它不会把函数值吸进去，而仅仅保持着自身的存在。

从这个角度看的话，奇点就是一个漏孔，围绕这个漏孔会导致一个旋量，这个旋量才是导致积分值变化的元凶。不过，这样一来奇点就变得不够神秘了，变成了一个随处可见的存在，就像随处可见的漩涡一样。不过，本来就是一个普遍存在的东西，不过人们总是忽略它罢了。

学习要有合理的规律。课堂上做的笔记你要在课后及时复习，不仅要复习老师在课堂上讲授的重要内容，还要复习那些你仍感模糊的认识。如果你坚持定期复习笔记和课本，并做一些相关的习题，你定能更深刻地理解这些内容，你的记忆也会保持更久。定期复习能有效地提高你的考试成绩。

怎样理解光滑但不解析的实函数

在中学我们主要了解学习了实变函数，与大学期间，我们又更加深入的学习研究了实变函数，与此同时，也开始复变函数的学习。由此我们看到了：“数的扩展：正数→负数→实数→…在实数范围内：方程当 时，没有实根。→扩大数域，引进复数”。这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉，他们有很深的联系，然而事实上，他们有很大的不同，有很大的区别。下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。

1 自变量的不同

以实数作为自变量的函数就做实变函数；即实数→实变量→实变函数。

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数；即复数→复变量→复变函数。

2 实变函数与复变函数的联系区别

（1）因为z=x+yi,所以复变函数y=f(z)的实部与虚部都是x,y的函数，即w= f(z)=u(x,y)+iv(x,y),由此可以看成：一个复变函数是两个实变函数的有序组合。这样，实变函数的许多定义、公式，定理可直接移植到复变函数中。然而同时，由于复变函数的虚部，实变函数的许多定义、公式，定理也不再是用于复变函数。

（2）对于复变函数与实变函数，我们分别学习了两者的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用。然而同时，由于复变函数的虚部，所要求的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用的定义也不尽相同。

对正整数k, 定义集合E[k] = {x∈E | f(x) ≥ g(x)+1/k}

则{x∈E | f(x) > g(x)} = ∪{1 ≤ k} E[k]

只要证明E[k]是零测集, 由可数个零测集之并仍是零测集, 即知{x∈E | f(x) > g(x)}零测

也即f(x) ≤ g(x), ae x∈E

用反证法, 假设某个E[k]的测度m(E[k]) = δ > 0

取ε = 1/k > 0, 由f[n]在E上依测度收敛于f, 存在N, 当n > N有:

m({x∈E | |f[n](x)-f(x)| ≥ ε}) < δ

由B = {x∈E | f[n](x) > g(x)}是零测集, E(k)∩B也是零测集

于是m(E[k]-B) = m(E(k)) = δ

而对任意x∈E[k]-B, 有f(x) ≥ g(x)+1/k, 同时f[n](x) ≤ g(x)

相减得f(x)-f[n](x) ≥ 1/k > 0, 于是E[k]-B ⊆ {x∈E | |f[n](x)-f(x)| ≥ 1/k} = {x∈E | |f[n](x)-f(x)| ≥ ε}

则m({x∈E | |f[n](x)-f(x)| ≥ ε}) ≥ m(E[k]-B) = δ, 矛盾

因此对任意正整数k, m(E[k]) = 0

证毕

另外如果可以用Riesz定理: 依测度收敛的函数列有几乎处处收敛的子列

取{f[n]}的几乎处处收敛子列{f[n[k]]}, 在除去{f[n[k]]}不收敛到f(x)的零测集,

以及f[n[k]](x) > g(x)的可数个零测集后, 在其余的x∈E处:

f[n[k]](x) ≤ g(x), 且lim{k → ∞} f[n[k]](x) = f(x), 则有f(x) ≤ g(x)

于是f(x) ≤ g(x), ae x∈E

实变函数对我们金融专业的学生来说是有点难，但不是说不可以学，我自己自学了一个学期感觉还可以的。学习这个的目的主要是解决自己在看一些国外的高级西方经济学教材时碰到的问题，感觉还是有必要的。这是我本科时一个老师建议我学的，除了实变函数，我自己还学了一些泛函分析的知识，感觉还是有用的。

个人观点就是，如果你在学习完自己本专业的课程后，还有余力的话是可以学一下，毕竟学习是有用的，多读点书对自己是有好处的，但是如果精力不够的话就可以考虑不学了。

希望对你有点帮助，祝你成功！

实变函数是概率论的基础某种意义上说也是泛函分析和测度论的基础实际应用我就不知道了

主要就是学完了觉得上升一个层次,知道了集合的势的概念,对集合的认识就提升了还有对于可积性的理解,也在实变函数中完美了